Radicali

Radicalul unui număr este operația inversă ridicării la pătrat. Spre exemplu, \( \sqrt{9} = 3 \), deoarece \( 3^2 = 9 \). Radicalul unui număr pozitiv este acel număr care, ridicat la pătrat, dă numărul respectiv. Spre exemplu, \( \sqrt{16} = 4 \), deoarece \( 4^2 = 16 \).

Pătrate perfecte

Pătratele perfecte sunt numerele care sunt pătrate ale numerelor întregi. De exemplu: \( 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 \). Acestea sunt utile pentru simplificarea radicalilor.

  • \( 1^2 = 1 \)
  • \( 2^2 = 4 \)
  • \( 3^2 = 9 \)
  • \( 4^2 = 16 \)
  • \( 5^2 = 25 \)
  • \( 6^2 = 36 \)
  • \( 7^2 = 49 \)
  • \( 8^2 = 64 \)
  • \( 9^2 = 81 \)
  • \( 10^2 = 100 \)
  • \( 11^2 = 121 \)
  • \( 12^2 = 144 \)
  • \( 13^2 = 169 \)
  • \( 14^2 = 196 \)
  • \( 15^2 = 225 \)
  • \( 16^2 = 256 \)
  • \( 17^2 = 289 \)
  • \( 18^2 = 324 \)
  • \( 19^2 = 361 \)
  • \( 20^2 = 400 \)

Scoaterea factorului de sub radical

Dacă un număr sub radical are factori care sunt pătrate perfecte, acești factori pot fi scoși din radical. Spre exemplu: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \).

Raționalizarea numitorului

Pentru a elimina un radical din numitorul unei fracții, folosim procesul de raționalizare. Acest proces constă în amplificarea fracției astfel încât numitorul să devină un număr întreg. De exemplu: \[ \frac{12}{\sqrt{3}} \xrightarrow{\text{amplificăm cu } \sqrt{3}} \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}. \]

Proprietăți și Exemple

  1. \( (\sqrt{a})^2 = a \)
    Exemplu: \( (\sqrt{7})^2 = 7 \) ; \( (\sqrt{4})^2 = 4 \)
  2. \(\frac{a}{\sqrt{b}} \xrightarrow{\text{amplificăm cu } \sqrt{b}} \)
    Exemplu: \( \frac{12}{\sqrt{3}} \xrightarrow{\text{amplificăm cu } \sqrt{3}} \frac{12 \sqrt{3}}{3} \xrightarrow{\text{simplificăm prin 3}} 4 \sqrt{3} \)
  3. \( \frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} \xrightarrow{\text{amplificăm cu } (\sqrt{b}-\sqrt{c})} \)
    Exemplu: \( \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} \xrightarrow{\text{amplificăm cu } (\sqrt{7}-\sqrt{3})} \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2} \)
  4. \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \)
    Exemplu: \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4 \)
  5. \( \sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)
    Exemplu: \( \sqrt{24}=\sqrt{4 \cdot 6}=\sqrt{4} \cdot \sqrt{6}=2 \sqrt{6} \)
  6. \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} \)
    Exemplu: \( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5 \)
  7. \( \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)
    Exemplu: \( \sqrt{\frac{49}{36}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{36}}=\frac{7}{6} \)

Înapoi Următor