Puteri. Ordinea operatiilor

1. Ridicarea la putere a numerelor întregi

Ridicarea unui număr întreg la o putere înseamnă înmulțirea acelui număr de mai multe ori cu el însuși.

\( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)
\( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \)

2. Ridicarea la putere a numerelor zecimale

Același principiu se aplică numerelor cu zecimale. Le înmulțim repetat de câte ori indică exponentul.

\( (1.5)^2 = 1.5 \cdot 1.5 = 2.25 \)

3. Ridicarea la putere a fracțiilor

Pentru fracții, ridicăm separat numărătorul și numitorul la puterea indicată.

\( \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \)

4. Ridicarea numerelor negative la puteri pare/impare

Putere pară: Rezultatul este pozitiv deoarece înmulțim un număr negativ de un număr par de ori.
Putere impară: Rezultatul este negativ deoarece înmulțim un număr negativ de un număr impar de ori.

\( (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \) (putere pară)
\( (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 \) (putere impară)

5. Ordinea operațiilor

În matematică, operațiile se efectuează în următoarea ordine:

Paranteze: Se rezolvă întâi expresiile dintre paranteze.
Puteri și rădăcini: Se calculează ridicările la putere sau extragerea rădăcinilor.
Înmulțiri și împărțiri: Se efectuează de la stânga la dreapta.
Adunări și scăderi: Se efectuează de la stânga la dreapta.

Exemplu: \( 3 + 2 \cdot (4 - 1)^2 \)
1. Rezolvăm paranteza: \( 4 - 1 = 3 \)
2. Ridicăm la putere: \( 3^2 = 9 \)
3. Înmulțim: \( 2 \cdot 9 = 18 \)
4. Adunăm: \( 3 + 18 = 21 \)

Exerciții

\( \displaystyle \frac{(-4)^2}{3^3} - \frac{(-2)^2}{27} = \boxed{\phantom{a}} \)

\( \displaystyle \frac{(-2)^4}{5} : \frac{(-4)^2}{15} = \boxed{\phantom{a}} \)

\( \displaystyle (-5)^3 + (-2)^4 = \boxed{\phantom{a}} \)

\( \displaystyle \left( \frac{2}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \boxed{\phantom{a}} \)

\( \displaystyle (-3)^4 - 2^5 = \boxed{\phantom{a}} \)

\( \displaystyle \left( -\frac{1}{2} \right)^3 + \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \boxed{\phantom{a}} \)

\( \displaystyle 2^3 \cdot (-3)^2 + 4^2 = \boxed{\phantom{a}} \)

\( \displaystyle \left( \frac{-5}{2} \right)^2 - \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \boxed{\phantom{a}} \)

Răspunsuri

\( \displaystyle \frac{4}{9} \)

-117

\( \displaystyle \frac{9}{250} \)

\( \displaystyle -\frac{1}{16} \)

\( \displaystyle \frac{149}{18} \)

Rezolvări

Calculăm fiecare termen separat.

Primul termen: \[ \displaystyle \frac{(-4)^2}{3^3} \]
Ridicăm la putere: \[ (-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16 \quad \text{(putere pară → pozitiv)} \]
\[ 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \]
Deci: \[ \displaystyle \frac{16}{27} \]

Al doilea termen: \[ \displaystyle \frac{(-2)^2}{27} \]
Ridicăm la putere: \[ (-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4 \quad \text{(putere pară → pozitiv)} \]
Deci: \[ \displaystyle \frac{4}{27} \]

Scădem fracțiile (au același numitor):
\[ \displaystyle \frac{16}{27} - \frac{4}{27} = \frac{16 - 4}{27} = \frac{12}{27} \]

Simplificăm: 12 și 27 au factor comun 3 → \[ \displaystyle \frac{12 \div 3}{27 \div 3} = \frac{4}{9} \]

Răspuns: \[ \displaystyle \frac{4}{9} \]

Împărțirea fracțiilor înseamnă înmulțire cu inversa celei de-a doua fracții.

Pasul 1 – calculăm puterile:
\[ (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \quad \text{(putere pară → pozitiv)} \]
\[ (-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16 \quad \text{(putere pară → pozitiv)} \]

Deci expresia devine:
\[ \displaystyle \frac{16}{5} \div \frac{16}{15} = \frac{16}{5} \cdot \frac{15}{16} \]

Pasul 2 – simplificăm pe diagonală:
16 și 16 se anulează: \( \displaystyle \frac{\cancel{16}}{\cancel{16}} = 1 \)
5 și 15 au factor comun 5: \( \displaystyle \frac{15 \div 5}{5 \div 5} = \frac{3}{1} \)

Rezultă:
\[ \displaystyle 1 \cdot \frac{3}{1} = 3 \]

Răspuns: \( 3 \)

Calculăm fiecare putere separat.

Primul termen: \[ (-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125 \quad \text{(putere impară → negativ)} \]

Al doilea termen: \[ (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \quad \text{(putere pară → pozitiv)} \]

Adunăm:
\[ -125 + 16 = -109 \]

Răspuns: \( -109 \)

Ridicăm fiecare fracție la putere, apoi înmulțim rezultatele.

Pasul 1 – ridicăm la putere:
\[ \left( \displaystyle \frac{2}{5} \right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125} \]
\[ \left( \displaystyle \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} \]

Pasul 2 – înmulțim fracțiile:
\[ \displaystyle \frac{8}{125} \cdot \frac{9}{16} = \frac{8 \cdot 9}{125 \cdot 16} \]

Pasul 3 – simplificăm:
8 și 16 au factor comun 8: \( \displaystyle \frac{\cancel{8}}{\cancel{16}} = \frac{1}{2} \)
Rezultă: \[ \displaystyle \frac{9}{125 \cdot 2} = \frac{9}{250} \]

9 și 250 nu au divizori comuni → fracția este simplificată.

Răspuns: \[ \displaystyle \frac{9}{250} \]

Calculăm puterile separat.

Primul termen: \[ (-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81 \quad \text{(putere pară → pozitiv)} \]

Al doilea termen: \[ 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 \]

Scădem:
\[ 81 - 32 = 49 \]

Răspuns: \( 49 \)

Calculăm fiecare putere.

Primul termen: \[ \left( -\displaystyle \frac{1}{2} \right)^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8} \quad \text{(putere impară → negativ)} \]

Al doilea termen: \[ \left( \displaystyle \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} \]

Adunăm fracțiile (numitor comun 16):
\[ \displaystyle -\frac{1}{8} = -\frac{2}{16} \]
\[ \displaystyle -\frac{2}{16} + \frac{9}{16} = \frac{-2 + 9}{16} = \frac{7}{16} \]

Răspuns: \[ \displaystyle \frac{7}{16} \]

Respectăm ordinea operațiilor: puteri întâi, apoi înmulțire, apoi adunare.

Pasul 1 – calculăm puterile:
\[ 2^3 = 8 \]
\[ (-3)^2 = 9 \quad \text{(putere pară → pozitiv)} \]
\[ 4^2 = 16 \]

Pasul 2 – înmulțim:
\[ 8 \cdot 9 = 72 \]

Pasul 3 – adunăm:
\[ 72 + 16 = 88 \]

Răspuns: \( 88 \)

Calculăm fiecare putere.

Primul termen: \[ \left( \displaystyle \frac{-5}{2} \right)^2 = \frac{(-5)^2}{2^2} = \frac{25}{4} \quad \text{(putere pară → pozitiv)} \]

Al doilea termen: \[ \left( \displaystyle \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27} \]

Scădem fracțiile (numitor comun 108):
\[ \displaystyle \frac{25}{4} = \frac{25 \cdot 27}{4 \cdot 27} = \frac{675}{108} \]
\[ \displaystyle \frac{1}{27} = \frac{1 \cdot 4}{27 \cdot 4} = \frac{4}{108} \]
\[ \displaystyle \frac{675}{108} - \frac{4}{108} = \frac{671}{108} \]

Simplificăm: 671 și 108 nu au divizori comuni → fracția rămâne \( \displaystyle \frac{671}{108} \).

Răspuns: \[ \displaystyle \frac{671}{108} \]

Cuprins

Explicație
Exerciții