1) Sisteme de măsură pentru unghiuri și arce grade / radiani

Grade: un cerc are \(360^\circ\).
Radiani: un cerc are \(2\pi\) rad.

Formula de conversie: \[ 180^\circ = \pi \text{ rad} \] \[ x^\circ = x\cdot \frac{\pi}{180} \text{ rad},\qquad y\text{ rad} = y\cdot \frac{180}{\pi}^\circ \]

Exemple rapide

\[ 60^\circ=\frac{\pi}{3},\quad 45^\circ=\frac{\pi}{4},\quad 30^\circ=\frac{\pi}{6} \] \[ \frac{3\pi}{2}=270^\circ,\quad \frac{5\pi}{6}=150^\circ \]

Arcul pe cerc

Dacă pe un cerc de rază \(R\), un unghi are măsura \(\alpha\) (în radiani), atunci: \[ l=R\alpha \] (unde \(l\) = lungimea arcului).

2) Generalizarea noțiunilor de unghi și arc

Un unghi orientat se poate măsura și pentru rotații multiple: \[ \alpha \in \mathbb{R} \] Poate fi:

pozitiv (sens trigonometric – invers acelor de ceas)
negativ (sensul acelor de ceas)
mai mare decât \(2\pi\) sau mai mic decât \(-2\pi\)

Unghiuri coterminale: \[ \alpha \sim \beta \Longleftrightarrow \alpha = \beta + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \] Au aceeași poziție finală pe cerc.

3) Cerc trigonometric & definiții

Pe cercul trigonometric (raza \(1\)), punctul \(M(\cos\alpha,\sin\alpha)\) corespunde unghiului \(\alpha\).
Deci: \(\cos\alpha\) este coordonata \(x\), iar \(\sin\alpha\) este coordonata \(y\).

Cerc trigonometric: \(M(\cos\alpha,\sin\alpha)\). Proiecțiile dau \(\cos\alpha\) și \(\sin\alpha\).

4) Funcțiile trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă, secantă, cosecantă

Pentru \(\alpha\in\mathbb{R}\): \[ \sin\alpha = y,\quad \cos\alpha = x \ \ (\text{pe cercul trigonometric}) \]

Funcție	Definiție	Condiții (unde există)
\(\sin\alpha\)	coordonata \(y\)	definită \(\forall \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\cos\alpha\)	coordonata \(x\)	definită \(\forall \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\tan\alpha\)	\(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)	\(\cos\alpha\neq 0\)
\(\cot\alpha\)	\(\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\)	\(\sin\alpha\neq 0\)
\(\sec\alpha\)	\(\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha}\)	\(\cos\alpha\neq 0\)
\(\csc\alpha\)	\(\csc\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha}\)	\(\sin\alpha\neq 0\)

Atenție domeniu: tg, sec nu există când \(\cos\alpha=0\) (adică \(\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi\)).
ctg, csc nu există când \(\sin\alpha=0\) (adică \(\alpha=k\pi\)).

5) Tabelul de valori (unghiuri uzuale)

Unghiuri: \(0,\ \frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{2}\) (și apoi folosești periodicitatea/simetria).

\(\alpha\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\sin\alpha\)	0	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	1
\(\cos\alpha\)	1	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	0
\(\tan\alpha\)	0	\(\frac{1}{\sqrt3}\)	1	\(\sqrt3\)	nu există
\(\cot\alpha\)	nu există	\(\sqrt3\)	1	\(\frac{1}{\sqrt3}\)	0

Pentru sec/csc: \(\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}\), \(\csc\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}\) (când există).

6) Proprietățile fundamentale ale funcțiilor trigonometrice

Domeniul de definiție

\[ D(\sin)=D(\cos)=\mathbb{R} \] \[ D(\tan)=D(\sec)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\} \] \[ D(\cot)=D(\csc)=\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi\right\} \] unde \(k\in\mathbb{Z}\).

Domeniul valorilor (imaginea)

\[ \sin\alpha \in [-1,1],\qquad \cos\alpha \in [-1,1] \] \[ \tan\alpha\in\mathbb{R},\qquad \cot\alpha\in\mathbb{R} \] \[ \sec\alpha\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty) \] \[ \csc\alpha\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty) \]

Zerouri

\[ \sin\alpha=0 \Longleftrightarrow \alpha=k\pi \] \[ \cos\alpha=0 \Longleftrightarrow \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi \] \[ \tan\alpha=0 \Longleftrightarrow \alpha=k\pi \] \[ \cot\alpha=0 \Longleftrightarrow \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi \] \(k\in\mathbb{Z}\).

Periodicitatea

\[ \sin(\alpha+2\pi)=\sin\alpha,\quad \cos(\alpha+2\pi)=\cos\alpha \] \[ \tan(\alpha+\pi)=\tan\alpha,\quad \cot(\alpha+\pi)=\cot\alpha \] Perioade: \(2\pi\) pentru sin/cos, \(\pi\) pentru tg/ctg.

Semnul (pe cadrane)

Pe cadrane (I, II, III, IV):

I: \(\sin+\), \(\cos+\), \(\tan+\)
II: \(\sin+\), \(\cos-\), \(\tan-\)
III: \(\sin-\), \(\cos-\), \(\tan+\)
IV: \(\sin-\), \(\cos+\), \(\tan-\)

ctg are același semn ca tg (fiind reciproce).

Paritatea

\[ \sin(-\alpha)=-\sin\alpha\quad (\text{impară}) \] \[ \cos(-\alpha)=\cos\alpha\quad (\text{pară}) \] \[ \tan(-\alpha)=-\tan\alpha,\quad \cot(-\alpha)=-\cot\alpha \]

Monotonie (pe intervale standard)

\(\sin x\) este:

crescătoare pe \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
descrescătoare pe \(\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]\)

\(\cos x\) este:

descrescătoare pe \([0,\pi]\)
crescătoare pe \([\pi,2\pi]\)

Extreme

\[ \max(\sin x)=1 \text{ la } x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \] \[ \min(\sin x)=-1 \text{ la } x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi \] \[ \max(\cos x)=1 \text{ la } x=2k\pi \] \[ \min(\cos x)=-1 \text{ la } x=\pi+2k\pi \] \(k\in\mathbb{Z}\).

7) Graficul (schematic) pentru \(\sin x\), \(\cos x\)

8) Identitățile fundamentale ale trigonometriei

Identitatea de bază : \[ \sin^2 x+\cos^2 x=1 \]

Identități cu \(\tan\) și \(\cot\)

\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\qquad \cot x=\frac{\cos x}{\sin x} \] \[ 1+\tan^2 x=\sec^2 x \] \[ 1+\cot^2 x=\csc^2 x \]

Introducere Cl11

Această pagină este în curs de realizare. Revenim în curând cu conținut.

Cuprins