A68 - Rădăcini de ordin n ale numerelor complexe

Ideea lecţiei

Ecuaţia \(w^n=z\) are în general \(n\) rădăcini complexe distincte pentru \(z\ne0\), dispuse regulat pe un cerc.

În această lecţie construim ideea de la intuiţie la formulă. Nu presupunem că formula este „evidentă”: explicăm ce măsoară, ce condiţii are şi cum verifici că ai ales-o corect.

Noţiuni-cheie

  • Modulul rădăcinilor este \(\sqrt[n]{r}\).
  • Argumentele sunt \((\varphi+2k\pi)/n\).
  • Rădăcinile sunt vârfurile unui poligon regulat în planul complex.

Reguli şi formule

  • \(w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\displaystyle\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\displaystyle\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\)
  • Înainte de calcul, verifică toate condiţiile de existenţă şi ipotezele teoremei.
  • Separă ideea matematică de calcul: întâi stabileşte de ce metodă ai nevoie, apoi efectuează operaţiile.

Metoda de lucru

  1. Pasul 1. Stabileşte datele, necunoscuta şi domeniul.
  2. Pasul 2. Alege definiţia sau formula relevantă.
  3. Pasul 3. Transformă expresia în paşi mici, justificând fiecare pas.
  4. Pasul 4. Verifică rezultatul în condiţiile iniţiale.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Rezolvă \(w^2=1\) în \(\mathbb C\).

Pasul 1. Numărul 1 are modul 1 şi argument 0 modulo \(2\pi\).

Pasul 2. Pentru \(n=2\), argumentele rădăcinilor sunt 0 şi \(\pi\).

Concluzie. \(w\in\{-1,1\}\).

Greşeală frecventă

Nu păstra un singur argument; trebuie generate toate valorile distincte ale lui \(k\).

Verificare rapidă

  • Care este ideea centrală a lecţiei „Rădăcini de ordin n ale numerelor complexe”?
    Vezi răspunsul

    Modulul rădăcinilor este \(\sqrt[n]{r}\).

  • Ce trebuie verificat înainte de a aplica formula sau teorema?
    Vezi răspunsul

    Domeniul de definiţie şi toate ipotezele/condiţiile metodei.

  • Este suficient un rezultat numeric fără justificare?
    Vezi răspunsul

    Nu. În clasa a XI-a trebuie urmărit şi motivul pentru care transformarea este validă.

Exerciții

1
Rezolvă \(w^2=1\) în \(\mathbb C\).

\(\displaystyle w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\displaystyle\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\displaystyle\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\)

2
Formulează precis noţiunea principală din lecţia „Rădăcini de ordin n ale numerelor complexe”.
3
Scrie formula-cheie principală a lecţiei şi precizează când poate fi folosită.
4
Într-o singură propoziţie, ce problemă matematică rezolvă noţiunea „Rădăcini de ordin n ale numerelor complexe”?
5
Ce verifici înainte de aplicarea unei formule sau teoreme?
6
Este corect să ignorăm atenţionarea „Nu păstra un singur argument; trebuie generate toate valorile distincte ale lui \(k\).”?
7
Rezolvă din nou, fără a consulta soluţia-model: Rezolvă \(w^2=1\) în \(\mathbb C\).
8
Scrie ordinea logică a paşilor de rezolvare pentru o problemă tipică din această lecţie.
9
Un elev spune: „Pot aplica direct formula, fără să verific condiţiile.” În contextul lecţiei „Rădăcini de ordin n ale numerelor complexe”, este sigură această strategie?
10
Scrie un rezumat de două idei: definiţia centrală şi instrumentul principal de calcul/demonstraţie.
Înapoi Următor