A01 - Numere raționale, iraționale și reale

Ideea lecției

În clasele anterioare ai lucrat cu numere naturale, întregi și raționale. Acum completăm imaginea cu numerele iraționale și vedem de ce toate acestea formează mulțimea numerelor reale. Ideea importantă este să recunoști tipul unui număr din forma lui de scriere și să poți trece între reprezentări fără să memorezi mecanic exemple.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Un număr rațional se poate scrie sub forma \(\displaystyle\frac{m}{n}\), cu \(m\in\mathbb Z\), \(n\in\mathbb N^*\).
  • Un număr irațional are o scriere zecimală infinită neperiodică.
  • Numerele reale reunesc numerele raționale și iraționale: \(\mathbb R=\mathbb Q\cup\mathbb I\), iar \(\mathbb Q\cap\mathbb I=\varnothing\).
  • Incluziunile de bază sînt \(\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\).

Reguli și legături importante

  • Orice zecimală finită sau periodică este rațională.
  • Radicali precum \(\sqrt2\), \(\sqrt3\), \(\sqrt5\) sînt iraționali atunci când numărul de sub radical nu este pătrat perfect.
  • Clasifică un număr în cea mai mică mulțime standard în care se află; de exemplu, \(5\) este natural, întreg, rațional și real, dar cea mai specifică etichetă este „natural”.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Privește forma de scriere a numărului.
  2. Pasul 2. Dacă este fracție de întregi sau zecimală finită/periodică, clasifică-l drept rațional.
  3. Pasul 3. Dacă este un radical neextractibil sau o zecimală infinită neperiodică, verifică dacă este irațional.
  4. Pasul 4. Așază apoi numărul în lanțul de incluziuni al mulțimilor numerice.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Clasifică \(\sqrt{49}\), \(0,(27)\) și \(\sqrt7\).

Pasul 1. \(\sqrt{49}=7\), deci este număr natural și, implicit, real.

Pasul 2. \(0,(27)\) este zecimală periodică, deci este rațională.

Pasul 3. \(\sqrt7\) nu se poate reduce la raport de întregi; 7 nu este pătrat perfect, deci \(\sqrt7\) este irațional.

Concluzie. Cele trei numere aparțin lui \(\mathbb R\), dar primele două sînt raționale, iar \(\sqrt7\) este irațional.

Greșeală frecventă

Nu decide că orice radical este irațional. De exemplu, \(\sqrt{81}=9\) este rațional.

Verificare rapidă

  • Este \(0,125\) rațional?
    Vezi răspunsul

    Da. Este o zecimală finită.

  • Este \(\sqrt{36}\) irațional?
    Vezi răspunsul

    Nu. \(\sqrt{36}=6\).

  • Ce relație există între \(\mathbb Q\) și \(\mathbb R\)?
    Vezi răspunsul

    \(\mathbb Q\subset\mathbb R\).

Exerciții

1
Clasifică \(\sqrt{81}\) în cea mai mică mulțime dintre \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R\).

\(\displaystyle \mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R
\mathbb R=\mathbb Q\cup\mathbb I\)

2
Este \(0,12(3)\) rațional sau irațional?
3
Clasifică \(\sqrt{11}\).
4
Este \(0,125\) rațional?
5
Este \(\sqrt{36}\) irațional?
6
Ce relație există între \(\mathbb Q\) și \(\mathbb R\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Clasifică \(\sqrt{49}\), \(0,(27)\) și \(\sqrt7\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu decide că orice radical este irațional. De exemplu, \(\sqrt{81}=9\) este rațional.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor