A49 - Ecuații logaritmice

Ideea lecției

Ecuațiile logaritmice cer două etape inseparabile: stabilirea domeniului și transformarea folosind injectivitatea sau definiția logaritmului. O valoare obținută algebric dar care face un argument nepozitiv nu este soluție.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Dacă \(a>0\), \(a\ne1\), \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\iff f(x)=g(x)\), cu \(f(x)>0,g(x)>0\).
  • \(\log_a f(x)=c\iff f(x)=a^c\), cu \(f(x)>0\).
  • Proprietățile logaritmilor pot reuni mai mulți termeni într-un singur logaritm.

Reguli și legături importante

  • Domeniul se scrie înainte de transformări.
  • Dacă ai o sumă de logaritmi, o poți transforma într-un logaritm al produsului numai când argumentele sînt pozitive.
  • Verifică soluțiile finale în condițiile de existență.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Scrie toate condițiile argumentelor \(>0\).
  2. Pasul 2. Simplifică expresia logaritmică.
  3. Pasul 3. Aplică injectivitatea sau treci la forma exponențială.
  4. Pasul 4. Rezolvă și intersectează cu domeniul.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Rezolvă \(\log_2(x-1)=3\).

Pasul 1. Condiția este \(x-1>0\), deci \(x>1\).

Pasul 2. Din definiție, \(x-1=2^3=8\).

Pasul 3. \(x=9\), care respectă domeniul.

Concluzie. \(S=\{9\}\).

Greșeală frecventă

Nu accepta o soluție care anulează sau face negativ un argument de logaritm.

Verificare rapidă

  • Ce condiție are \(\log_a f(x)\)?
    Vezi răspunsul

    \(f(x)>0\).

  • \(\log_3 x=2\) înseamnă?
    Vezi răspunsul

    \(x=9\).

  • Verificăm soluțiile în domeniu?
    Vezi răspunsul

    Da.

Exerciții

1
Rezolvă \(\log_3 x=2\).
2
Rezolvă \(\log_2(x+3)=2\).
3
Rezolvă \(\log_5 x=0\).
4
Ce condiție are \(\log_a f(x)\)?
5
\(\log_3 x=2\) înseamnă?
6
Verificăm soluțiile în domeniu?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă \(\log_2(x-1)=3\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu accepta o soluție care anulează sau face negativ un argument de logaritm.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor