A48 - Funcția logaritmică

Ideea lecției

Funcția logaritmică este inversa funcției exponențiale cu aceeași bază. De aceea, graficul ei este reflexia graficului exponențial față de dreapta \(y=x\), iar monotonia depinde de aceeași împărțire a bazelor: \(a>1\) sau \(0

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(f(x)=\log_a x\), cu \(a>0\), \(a\ne1\).
  • Domeniul este \((0,+\infty)\), imaginea este \(\mathbb R\).
  • Dacă \(a>1\), funcția este strict crescătoare; dacă \(0
  • Graficul trece prin \((1,0)\) și \((a,1)\).

Reguli și legături importante

  • Funcția logaritmică nu este definită pentru \(x\le0\).
  • Fiind inversă exponentialei, \(\log_a(a^x)=x\).
  • Monotonia va controla sensul inecuațiilor logaritmice.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Verifică baza.
  2. Pasul 2. Stabilește domeniul \(x>0\).
  3. Pasul 3. Plasează punctele reper \((1,0)\), \((a,1)\).
  4. Pasul 4. Decide monotonia după valoarea bazei.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Compară \(\log_2 5\) și \(\log_2 7\).

Pasul 1. Baza 2 este mai mare decît 1.

Pasul 2. Funcția \(\log_2 x\) este strict crescătoare.

Pasul 3. Cum \(5<7\), rezultă \(\log_2 5<\log_2 7\).

Concluzie. \(\log_2 5<\log_2 7\).

Greșeală frecventă

Argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv, nu doar nenegativ.

Verificare rapidă

  • Domeniul lui \(\log_a x\)?
    Vezi răspunsul

    \((0,+\infty)\).

  • Cît este \(\log_a1\)?
    Vezi răspunsul

    0.

  • Dacă \(a>1\), funcția este?
    Vezi răspunsul

    Crescătoare.

Exerciții

1
Calculează \(\log_2 8\).
2
Compară \(\log_3 4\) și \(\log_3 9\).
3
Ce punct aparține oricărui grafic \(y=\log_a x\)?
4
Domeniul lui \(\log_a x\)?
5
Cît este \(\log_a1\)?
6
Dacă \(a>1\), funcția este?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Compară \(\log_2 5\) și \(\log_2 7\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv, nu doar nenegativ.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor