Ideea lecției
Operațiile cu mulțimi organizează informația: reuniunea înseamnă „cel puțin una”, intersecția înseamnă „ambele”, iar diferența înseamnă „în prima, dar nu în a doua”. Aceste trei cuvinte sînt mai importante decît memorarea simbolurilor.
În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.
Noțiuni-cheie
- \(A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ sau }x\in B\}\).
- \(A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ și }x\in B\}\).
- \(A\setminus B=\{x\mid x\in A\text{ și }x\notin B\}\).
- Două mulțimi sînt disjuncte dacă \(A\cap B=\varnothing\).
Reguli și legături importante
- Reuniunea și intersecția sînt comutative; diferența nu este în general comutativă.
- Pentru intervale, reuniunea adună porțiunile acoperite, iar intersecția păstrează doar suprapunerea.
- În rezolvarea sistemelor de condiții apare de regulă intersecția; pentru alternative de tip „sau” apare reuniunea.
Înțelegere pas cu pas
- Pasul 1. Scrie elementele sau desenează intervalele.
- Pasul 2. Pentru reuniune, păstrează tot ce apare în cel puțin una dintre mulțimi.
- Pasul 3. Pentru intersecție, păstrează numai elementele comune.
- Pasul 4. Pentru diferență, pornește strict din prima mulțime și elimină ce aparține celei de-a doua.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. Fie \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{3,4,5\}\). Calculează \(A\cup B\), \(A\cap B\), \(A\setminus B\).
Pasul 1. La reuniune reunim elementele fără repetiții: \(\{1,2,3,4,5\}\).
Pasul 2. Elementele comune sînt 3 și 4, deci intersecția este \(\{3,4\}\).
Pasul 3. Din \(A\) eliminăm 3 și 4, obținînd \(\{1,2\}\).
Concluzie. \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\), \(A\cap B=\{3,4\}\), \(A\setminus B=\{1,2\}\).
Greșeală frecventă
La diferență contează ordinea: \(A\setminus B\) și \(B\setminus A\) pot fi mulțimi diferite.
Verificare rapidă
- Dacă \(A\cap B=\varnothing\), cum se numesc mulțimile?
Vezi răspunsul
- Ce operație corespunde cuvîntului „și”?
Vezi răspunsul
- Este \(A\setminus B=B\setminus A\) întotdeauna?
Vezi răspunsul
Exerciții
1
Pentru \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{3,4\}\), află \(A\cap B\).
2
Află \(A\cup B\) pentru aceleași mulțimi.
4
Dacă \(A\cap B=\varnothing\), cum se numesc mulțimile?
5
Ce operație corespunde cuvîntului „și”?
6
Este \(A\setminus B=B\setminus A\) întotdeauna?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Fie \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{3,4,5\}\). Calculează \(A\cup B\), \(A\cap B\), \(A\setminus B\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „La diferență contează ordinea: \(A\setminus B\) și \(B\setminus A\) pot fi mulțimi diferite.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.