Ideea lecției
Un sistem cere ca toate ecuațiile să fie satisfăcute simultan. De aceea, soluția este intersecția condițiilor, iar metodele de substituție, reducere și interpretare grafică sînt doar căi diferite de a găsi aceleași perechi sau tupluri.
În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.
Noțiuni-cheie
- O soluție a sistemului trebuie să verifice fiecare ecuație.
- Metoda substituției este convenabilă cînd o necunoscută se izolează ușor.
- Metoda reducerii este convenabilă cînd coeficienții pot fi opuși prin multiplicare.
- Grafic, pentru două ecuații în două necunoscute, soluțiile corespund punctelor comune ale graficelor.
Reguli și legături importante
- Nu rezolva ecuațiile separat și nu reuni soluțiile; trebuie satisfăcute simultan.
- După găsirea unei necunoscute, substituie pentru a o afla pe cealaltă.
- Verificarea finală în ambele ecuații este rapidă și utilă.
Înțelegere pas cu pas
- Pasul 1. Alege metoda după forma sistemului.
- Pasul 2. Elimină o necunoscută sau exprim-o prin cealaltă.
- Pasul 3. Rezolvă ecuația cu o necunoscută obținută.
- Pasul 4. Determină cealaltă necunoscută și verifică perechea.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. Rezolvă \(\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}\).
Pasul 1. Adunăm ecuațiile: \(2x=8\), deci \(x=4\).
Pasul 2. În prima ecuație: \(4+y=7\), deci \(y=3\).
Pasul 3. Verificare: \(4-3=1\).
Concluzie. \((x,y)=(4,3)\).
Greșeală frecventă
Soluția unui sistem cu două necunoscute este o pereche ordonată, nu două liste separate de valori.
Verificare rapidă
- Ce trebuie să verifice o soluție de sistem?
Vezi răspunsul
Toate ecuațiile sistemului.
- Cînd este utilă substituția?
Vezi răspunsul
Cînd o necunoscută se izolează simplu.
- Ce reprezintă soluția grafic?
Vezi răspunsul
Un punct comun al graficelor.
Exerciții
1
Rezolvă \(\begin{cases}x+y=5\\x-y=3\end{cases}\).
2
Rezolvă \(\begin{cases}y=2x\\x+y=9\end{cases}\).
3
Verifică dacă \((2,3)\) rezolvă \(x+y=5,\ 2x-y=1\).
4
Ce trebuie să verifice o soluție de sistem?
5
Cînd este utilă substituția?
6
Ce reprezintă soluția grafic?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă \(\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Soluția unui sistem cu două necunoscute este o pereche ordonată, nu două liste separate de valori.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.