Ideea lecției
Inecuațiile trigonometrice se rezolvă cel mai sigur geometric, pe cercul trigonometric sau pe grafic, într-o perioadă de bază. Apoi soluția se repetă folosind periodicitatea funcției.
În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.
Noțiuni-cheie
- Pentru \(\sin x>a\), interpretăm ordonatele punctelor de pe cerc mai mari decît nivelul \(a\).
- Pentru \(\cos x>a\), interpretăm abscisele mai mari decît nivelul \(a\).
- Soluția pe o perioadă se translatează cu perioada funcției.
Reguli și legături importante
- Capetele intervalelor se includ numai pentru semnele \(\ge\) sau \(\le\).
- Pentru tangentă, intervalele trebuie să respecte punctele unde funcția nu este definită.
- Reprezentarea grafică reduce erorile de orientare pe cerc.
Înțelegere pas cu pas
- Pasul 1. Rezolvă ecuația asociată pentru punctele de frontieră.
- Pasul 2. Marchează pe cerc/grafic porțiunea unde inegalitatea este adevărată.
- Pasul 3. Scrie intervalul dintr-o perioadă.
- Pasul 4. Adaugă toate translațiile cu perioada și tratează capetele corect.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. Rezolvă \(\sin x>0\).
Pasul 1. Pe cerc, sinusul este ordonata.
Pasul 2. Ordonata este pozitivă în semicercul superior, adică pentru \(x\in(0,\pi)\) într-o perioadă.
Pasul 3. Adăugăm perioada \(2\pi\): \(x\in(2k\pi,\pi+2k\pi)\).
Concluzie. \(x\in(2k\pi,\pi+2k\pi)\), \(k\in\mathbb Z\).
Greșeală frecventă
Nu scrie doar intervalul dintr-o singură perioadă dacă problema cere toate soluțiile reale.
Verificare rapidă
- Unde este \(\sin x\) pozitiv într-o perioadă?
Vezi răspunsul
- Se includ capetele pentru \(\sin x>0\)?
Vezi răspunsul
- Cu ce se repetă soluția pentru sinus?
Vezi răspunsul
Exerciții
1
Rezolvă \(\cos x>0\) într-o formă periodică.
2
Rezolvă \(\sin x\ge0\) pe \([0,2\pi]\).
3
Are \(\sin x>2\) soluții?
4
Unde este \(\sin x\) pozitiv într-o perioadă?
5
Se includ capetele pentru \(\sin x>0\)?
6
Cu ce se repetă soluția pentru sinus?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă \(\sin x>0\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu scrie doar intervalul dintr-o singură perioadă dacă problema cere toate soluțiile reale.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.