A24 - Noțiunea de funcție, domeniu și imagine

Ideea lecției

O funcție este o regulă care asociază fiecărui element din domeniu exact o valoare. Două întrebări trebuie separate: pentru ce valori este formula definită și ce valori poate produce?

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • O funcție \(f:A\to B\) asociază fiecărui \(x\in A\) un unic \(f(x)\in B\).
  • \(A\) este domeniul de definiție, iar mulțimea valorilor efectiv obținute se numește imaginea funcției.
  • Pentru formule cu fracții, numitorul trebuie să fie nenul; pentru radical de ordin par, radicandul trebuie să fie nenegativ.

Reguli și legături importante

  • O funcție poate fi dată prin formulă, tabel, diagramă, grafic sau descriere.
  • Domeniul nu se „ghicește” doar din grafic dacă formula impune restricții.
  • Aceeași valoare \(y\) poate corespunde mai multor valori \(x\); interdicția este ca un același \(x\) să aibă două imagini.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Pornește de la formula sau regula funcției.
  2. Pasul 2. Scrie toate condițiile de existență.
  3. Pasul 3. Intersectează condițiile pentru a obține domeniul.
  4. Pasul 4. Pentru imagine, analizează valorile pe care expresia le poate lua.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Determină domeniul lui \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x-3}\).

Pasul 1. Fracția este definită dacă numitorul este nenul.

Pasul 2. Impunem \(x-3\ne0\), deci \(x\ne3\).

Pasul 3. Prin urmare, domeniul este \(\mathbb R\setminus\{3\}\).

Concluzie. \(D_f=\mathbb R\setminus\{3\}\).

Greșeală frecventă

Nu confunda codomeniul declarat cu imaginea efectivă. Imaginea poate fi o submulțime strictă a codomeniului.

Verificare rapidă

  • Poate un \(x\) avea două valori \(f(x)\) într-o funcție?
    Vezi răspunsul

    Nu.

  • Ce restricție are un numitor?
    Vezi răspunsul

    Trebuie să fie nenul.

  • Ce restricție are \(\sqrt{g(x)}\)?
    Vezi răspunsul

    \(g(x)\ge0\).

Exerciții

1
Determină domeniul lui \(f(x)=\sqrt{x+2}\).
2
Determină domeniul lui \(g(x)=\displaystyle\frac1{x^2-1}\).
3
Calculează \(f(3)\) pentru \(f(x)=2x-1\).
4
Poate un \(x\) avea două valori \(f(x)\) într-o funcție?
5
Ce restricție are un numitor?
6
Ce restricție are \(\sqrt{g(x)}\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Determină domeniul lui \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x-3}\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu confunda codomeniul declarat cu imaginea efectivă. Imaginea poate fi o submulțime strictă a codomeniului.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor