A54 - Identități trigonometrice fundamentale

Ideea lecției

Identitățile fundamentale leagă cele patru funcții trigonometrice și permit calcularea unei valori din alta, cu condiția să stabilim corect semnul după cadran.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(\sin^2x+\cos^2x=1\).
  • \(1+\tan^2x=\displaystyle\frac1{\cos^2x}\), când \(\cos x\ne0\).
  • \(1+\cot^2x=\displaystyle\frac1{\sin^2x}\), când \(\sin x\ne0\).

Reguli și legături importante

  • Dacă știi \(\sin x\), relația fundamentală dă \(|\cos x|\); semnul se alege după cadran.
  • Nu uita domeniul tangentelor și cotangentelor.
  • Identitățile pot fi folosite în ambele sensuri pentru simplificare.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Alege identitatea care conține datele cunoscute și mărimea cerută.
  2. Pasul 2. Izolează pătratul funcției necunoscute.
  3. Pasul 3. Extrage rădăcina, păstrînd semnul potrivit cadranului.
  4. Pasul 4. Verifică domeniul.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Dacă \(\sin x=3/5\) și \(x\) este în cadranul II, află \(\cos x\).

Pasul 1. \(\cos^2x=1-\sin^2x=1-9/25=16/25\).

Pasul 2. Deci \(|\cos x|=4/5\).

Pasul 3. În cadranul II cosinusul este negativ, deci \(\cos x=-4/5\).

Concluzie. \(\cos x=-4/5\).

Greșeală frecventă

Din \(\cos^2x=16/25\) nu rezultă automat \(\cos x=4/5\); semnul depinde de cadran.

Verificare rapidă

  • Completează: \(\sin^2x+\cos^2x=\)?
    Vezi răspunsul

    1.

  • Dacă \(\sin x>0\) și \(\cos x<0\), cadranul este?
    Vezi răspunsul

    II.

  • De ce apare \(\pm\) la extragerea rădăcinii?
    Vezi răspunsul

    Pentru că pătratul nu determină singur semnul.

Exerciții

1
Dacă \(\cos x=12/13\) și x este în cadranul I, află \(\sin x\).

\(\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1
1+\tan^2x=\displaystyle\frac1{\cos^2x}\)

2
Simplifică \(1-\sin^2x\).
3
Exprimă \(\tan x\) prin sin și cos.
4
Completează: \(\sin^2x+\cos^2x=\)?
5
Dacă \(\sin x>0\) și \(\cos x<0\), cadranul este?
6
De ce apare \(\pm\) la extragerea rădăcinii?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Dacă \(\sin x=3/5\) și \(x\) este în cadranul II, află \(\cos x\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Din \(\cos^2x=16/25\) nu rezultă automat \(\cos x=4/5\); semnul depinde de cadran.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor