A14 - Operații cu radicali și raționalizarea numitorului

Ideea lecției

Expresiile cu radicali se simplifică prin aceleași idei ca polinoamele: aduni doar termeni asemenea, folosești produse remarcabile și transformi numitorul astfel încît să nu mai conțină radical. Raționalizarea este o transformare algebrică, nu o aproximație.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Pentru \(a,b\ge0\), \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\).
  • Pentru \(a\ge0,b>0\), \(\sqrt{\displaystyle\frac ab}=\displaystyle\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\).
  • Termenii \(p\sqrt m\) și \(q\sqrt m\) sînt asemenea și se adună prin coeficienți.
  • Pentru un numitor de forma \(a+\sqrt b\), expresia conjugată este \(a-\sqrt b\).

Reguli și legături importante

  • Înainte de adunare, simplifică radicalii pentru a vedea termenii asemenea.
  • Pentru \(\displaystyle\frac1{\sqrt a}\), înmulțește numărătorul și numitorul cu \(\sqrt a\).
  • Pentru un binom cu radical în numitor, folosește conjugata și diferența de pătrate.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Simplifică fiecare radical.
  2. Pasul 2. Grupează termenii asemenea.
  3. Pasul 3. Dacă există radical în numitor, alege factorul de raționalizare potrivit.
  4. Pasul 4. Simplifică rezultatul și păstrează condițiile de existență.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Raționalizează \(\displaystyle\frac{1}{2+\sqrt3}\).

Pasul 1. Conjugata numitorului este \(2-\sqrt3\).

Pasul 2. Înmulțim fracția cu \(\displaystyle\frac{2-\sqrt3}{2-\sqrt3}\).

Pasul 3. Numitorul devine \(4-3=1\), deci rezultatul este \(2-\sqrt3\).

Concluzie. \(\displaystyle\frac{1}{2+\sqrt3}=2-\sqrt3\).

Greșeală frecventă

Nu „anula” radicali aflați în termeni ai unei sume. Simplificarea se face între factori, nu între termeni separați prin + sau −.

Verificare rapidă

  • Cît este \(2\sqrt5+3\sqrt5\)?
    Vezi răspunsul

    \(5\sqrt5\).

  • Conjugata lui \(3-\sqrt2\) este?
    Vezi răspunsul

    \(3+\sqrt2\).

  • De ce folosim conjugata?
    Vezi răspunsul

    Pentru ca produsul din numitor să devină o diferență de pătrate fără radicali.

Exerciții

1
Simplifică \(\sqrt8+\sqrt{18}\).

\(\displaystyle (a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

2
Raționalizează \(\displaystyle\frac1{\sqrt5}\).
3
Calculează \((3+\sqrt2)(3-\sqrt2)\).
4
Cît este \(2\sqrt5+3\sqrt5\)?
5
Conjugata lui \(3-\sqrt2\) este?
6
De ce folosim conjugata?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Raționalizează \(\displaystyle\frac{1}{2+\sqrt3}\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu „anula” radicali aflați în termeni ai unei sume. Simplificarea se face între factori, nu între termeni separați prin + sau −.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor