A21 - Combinări

Ideea lecției

Combinările numără selecții în care ordinea nu contează. Un comitet cu Ana și Dan este același comitet cu Dan și Ana; această observație simplă este criteriul decisiv pentru alegerea formulei.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(C_n^k=\displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
  • \(C_n^k=C_n^{n-k}\).
  • \(C_n^0=C_n^n=1\).

Reguli și legături importante

  • Folosește combinări pentru grupuri, echipe sau selecții fără roluri ordonate.
  • Dacă există roluri distincte după selecție, problema poate necesita combinări urmate de aranjare.
  • Simetria \(C_n^k=C_n^{n-k}\) poate reduce calculul.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Identifică \(n\) și \(k\).
  2. Pasul 2. Întreabă dacă schimbarea ordinii produce un rezultat nou.
  3. Pasul 3. Dacă nu, aplică \(C_n^k\).
  4. Pasul 4. Simplifică factorialele înainte de a înmulți.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Cîte echipe de 3 elevi se pot forma din 8 elevi?

Pasul 1. Ordinea în interiorul echipei nu contează.

Pasul 2. Folosim \(C_8^3=\displaystyle\frac{8!}{3!5!}\).

Pasul 3. \(C_8^3=\displaystyle\frac{8\cdot7\cdot6}{6}=56\).

Concluzie. Se pot forma 56 de echipe.

Greșeală frecventă

Dacă spui „președinte, vicepreședinte, secretar”, ordinea/rolul contează și nu mai este o combinare simplă.

Verificare rapidă

  • În alegerea unui comitet contează ordinea?
    Vezi răspunsul

    Nu.

  • Cît este \(C_5^2\)?
    Vezi răspunsul

    10.

  • Cu ce este egal \(C_n^{n-k}\)?
    Vezi răspunsul

    \(C_n^k\).

Exerciții

1
Cîte perechi se aleg din 6 persoane?

\(\displaystyle C_n^k=\displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

2
Cîte submulțimi cu 3 elemente are o mulțime cu 5 elemente?
3
Calculează \(C_7^0\).
4
În alegerea unui comitet contează ordinea?
5
Cît este \(C_5^2\)?
6
Cu ce este egal \(C_n^{n-k}\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Cîte echipe de 3 elevi se pot forma din 8 elevi?
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Dacă spui „președinte, vicepreședinte, secretar”, ordinea/rolul contează și nu mai este o combinare simplă.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor