A52 - Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă

Ideea lecției

Pe cercul trigonometric, cosinusul și sinusul sînt pur și simplu coordonatele punctului determinat de unghi. Tangenta și cotangenta sînt rapoarte ale acestor coordonate, ceea ce explică natural domeniile lor de definiție.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Dacă punctul de pe cerc este \(M(\cos\alpha,\sin\alpha)\), atunci abscisa este cosinusul, iar ordonata sinusul.
  • \(\tan\alpha=\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) când \(\cos\alpha\ne0\).
  • \(\cot\alpha=\displaystyle\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) când \(\sin\alpha\ne0\).

Reguli și legături importante

  • Semnele sinusului și cosinusului depind de cadran.
  • \(\sin\alpha\) și \(\cos\alpha\) aparțin intervalului \([-1,1]\).
  • Tangenta nu este definită la \(\alpha=\pi/2+k\pi\); cotangenta nu este definită la \(\alpha=k\pi\).

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Localizează unghiul pe cerc și identifică cadranul.
  2. Pasul 2. Stabilește semnele coordonatelor.
  3. Pasul 3. Folosește valorile unghiurilor remarcabile sau relațiile trigonometrice.
  4. Pasul 4. Pentru tangentă/cotangentă verifică numitorul.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Calculează valorile pentru \(\alpha=\pi/4\).

Pasul 1. Punctul corespunzător are coordonatele \((\sqrt2/2,\sqrt2/2)\).

Pasul 2. Deci \(\cos\alpha=\sin\alpha=\sqrt2/2\).

Pasul 3. \(\tan\alpha=1\), iar \(\cot\alpha=1\).

Concluzie. \(\sin\displaystyle\frac\pi4=\cos\displaystyle\frac\pi4=\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\), \(\tan\displaystyle\frac\pi4=\cot\displaystyle\frac\pi4=1\).

Greșeală frecventă

Nu calcula tangenta printr-o valoare memorată dacă \(\cos\\alpha=0\); în acel caz tangenta nu este definită.

Verificare rapidă

  • Ce coordonată reprezintă cosinusul?
    Vezi răspunsul

    Abscisa.

  • Ce coordonată reprezintă sinusul?
    Vezi răspunsul

    Ordonata.

  • Cînd nu este definită tangenta?
    Vezi răspunsul

    Cînd \(\cos\alpha=0\).

Exerciții

1
Calculează \(\sin(\pi/6)\).

\(\displaystyle \tan\alpha=\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
\cot\alpha=\displaystyle\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\)

2
Calculează \(\cos(\pi)\).
3
Calculează \(\tan(\pi/4)\).
4
Ce coordonată reprezintă cosinusul?
5
Ce coordonată reprezintă sinusul?
6
Cînd nu este definită tangenta?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Calculează valorile pentru \(\alpha=\pi/4\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu calcula tangenta printr-o valoare memorată dacă \(\cos\\alpha=0\); în acel caz tangenta nu este definită.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor