A45 - Funcția exponențială

Ideea lecției

În funcția exponențială \(f(x)=a^x\), baza este fixă și variabila apare în exponent. Funcția este mereu pozitivă, trece prin \((0,1)\), iar monotonia depinde de poziția bazei față de 1.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(f(x)=a^x\), cu \(a>0\), \(a\ne1\).
  • Domeniul este \(\mathbb R\), imaginea este \((0,+\infty)\).
  • Dacă \(a>1\), funcția este strict crescătoare; dacă \(0
  • \(a^0=1\), deci graficul trece prin \((0,1)\).

Reguli și legături importante

  • Funcția nu ia niciodată valoarea 0.
  • Axa \(Ox\) este asimptotă orizontală în direcția relevantă.
  • Monotonia este cheia ecuațiilor și inecuațiilor exponențiale.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Verifică baza.
  2. Pasul 2. Notează punctele reper \((0,1)\) și \((1,a)\).
  3. Pasul 3. Stabilește monotonia după \(a>1\) sau \(0
  4. Pasul 4. Folosește proprietățile puterilor pentru comparații.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Compară \(2^{1.3}\) și \(2^{1.8}\).

Pasul 1. Baza 2 este mai mare decît 1.

Pasul 2. Funcția \(2^x\) este strict crescătoare.

Pasul 3. Cum \(1.3<1.8\), rezultă \(2^{1.3}<2^{1.8}\).

Concluzie. \(2^{1.3}<2^{1.8}\).

Greșeală frecventă

Pentru baza dintre 0 și 1, comparația exponenților se inversează deoarece funcția este descrescătoare.

Verificare rapidă

  • Imaginea lui \(a^x\)?
    Vezi răspunsul

    \((0,+\infty)\).

  • Dacă \(a>1\), funcția este?
    Vezi răspunsul

    Crescătoare.

  • Dacă \(0
    Vezi răspunsul

    Descrescătoare.

Exerciții

1
Calculează \(2^5\).
2
Compară \(3^{-1}\) și \(3^0\).
3
Care este valoarea lui \(a^0\)?
4
Imaginea lui \(a^x\)?
5
Dacă \(a>1\), funcția este?
6
Dacă \(0
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Compară \(2^{1.3}\) și \(2^{1.8}\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Pentru baza dintre 0 și 1, comparația exponenților se inversează deoarece funcția este descrescătoare.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor