A33 - Inecuații cu o necunoscută și transformări echivalente

Ideea lecției

La o inecuație nu căutăm de obicei o valoare izolată, ci un interval sau o reuniune de intervale. Regulile ecuațiilor se păstrează în mare parte, cu o excepție critică: înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ inversează sensul comparației.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Soluția unei inecuații este mulțimea valorilor care fac inegalitatea adevărată.
  • Adunarea aceleiași expresii la ambele membre păstrează sensul.
  • Înmulțirea/împărțirea cu un număr pozitiv păstrează sensul; cu un număr negativ îl inversează.
  • Rezultatul se exprimă convenabil prin intervale.

Reguli și legături importante

  • Dacă multiplicatorul are semn necunoscut, nu înmulți direct fără analiză de caz.
  • Punctele unde expresia este nedefinită rămîn excluse indiferent de semnul final.
  • Pentru inegalități stricte, rădăcinile unde expresia devine zero nu se includ.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Stabilește domeniul.
  2. Pasul 2. Adu expresia la o formă convenabilă, de preferat cu zero într-un membru.
  3. Pasul 3. Aplică transformări echivalente și urmărește semnul multiplicatorilor.
  4. Pasul 4. Scrie soluția în notație de interval și verifică un punct de test.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Rezolvă \(-3x+6>0\).

Pasul 1. Scădem 6: \(-3x>-6\).

Pasul 2. Împărțim cu \(-3\), deci inversăm sensul: \(x<2\).

Pasul 3. În intervale: \(( -\infty,2)\).

Concluzie. \(S=( -\infty,2)\).

Greșeală frecventă

Dacă uiți să inversezi sensul la împărțirea cu un număr negativ, obții exact jumătatea greșită a axei.

Verificare rapidă

  • Ce se întîmplă cu sensul la împărțirea cu \(-5\)?
    Vezi răspunsul

    Se inversează.

  • Cum se scrie \(x\ge3\) ca interval?
    Vezi răspunsul

    \([3,+\infty)\).

  • Se include 3 pentru \(x>3\)?
    Vezi răspunsul

    Nu.

Exerciții

1
Rezolvă \(3x-9\ge0\).
2
Rezolvă \(-x+2<0\).
3
Scrie în intervale \(-2
4
Ce se întîmplă cu sensul la împărțirea cu \(-5\)?
5
Cum se scrie \(x\ge3\) ca interval?
6
Se include 3 pentru \(x>3\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă \(-3x+6>0\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Dacă uiți să inversezi sensul la împărțirea cu un număr negativ, obții exact jumătatea greșită a axei.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor