A29 - Injectivitate, surjectivitate și funcția inversă

Ideea lecției

O funcție inversă „desface” acțiunea funcției inițiale. Pentru ca această inversare să fie o funcție bine definită pe întreg codomeniul, funcția inițială trebuie să fie bijectivă: fără două intrări cu aceeași ieșire și fără valori din codomeniu rămase neatinse.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Injectivă: \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\).
  • Surjectivă: pentru orice \(y\) din codomeniu există cel puțin un \(x\) cu \(f(x)=y\).
  • Bijectivă: injectivă și surjectivă.
  • Dacă \(f\) este bijectivă, inversa \(f^{-1}\) satisface \(f^{-1}(f(x))=x\).

Reguli și legături importante

  • Grafic, injectivitatea se poate testa prin „testul dreptei orizontale”.
  • Pentru a găsi inversa unei formule, pornește de la \(y=f(x)\), rezolvă pentru \(x\), apoi schimbă rolurile variabilelor.
  • \(f^{-1}(x)\) nu înseamnă \(1/f(x)\).

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Verifică domeniul și codomeniul.
  2. Pasul 2. Studiază injectivitatea și surjectivitatea.
  3. Pasul 3. Scrie \(y=f(x)\) și izolează \(x\).
  4. Pasul 4. Exprimă formula inversei și verifică prin compunere.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Găsește inversa lui \(f(x)=2x+3\), \(f:\mathbb R\to\mathbb R\).

Pasul 1. Scriem \(y=2x+3\).

Pasul 2. Izolăm \(x\): \(x=\displaystyle\frac{y-3}{2}\).

Pasul 3. Înlocuim variabila de ieșire cu \(x\): \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{x-3}{2}\).

Concluzie. \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{x-3}{2}\).

Greșeală frecventă

Notația \(f^{-1}\) desemnează funcția inversă, nu reciprocul valorii funcției.

Verificare rapidă

  • Ce înseamnă bijectivă?
    Vezi răspunsul

    Injectivă și surjectivă.

  • Ce test grafic sugerează injectivitatea?
    Vezi răspunsul

    Testul dreptei orizontale.

  • Este \(f^{-1}(x)=1/f(x)\)?
    Vezi răspunsul

    Nu.

Exerciții

1
Găsește inversa lui \(f(x)=x-5\).

\(\displaystyle f^{-1}(f(x))=x\)

2
Este \(f(x)=x^2\), \(\mathbb R\to\mathbb R\), injectivă?
3
Este \(f(x)=2x\), \(\mathbb R\to\mathbb R\), bijectivă?
4
Ce înseamnă bijectivă?
5
Ce test grafic sugerează injectivitatea?
6
Este \(f^{-1}(x)=1/f(x)\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Găsește inversa lui \(f(x)=2x+3\), \(f:\mathbb R\to\mathbb R\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Notația \(f^{-1}\) desemnează funcția inversă, nu reciprocul valorii funcției.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor