A50 - Inecuații logaritmice

Ideea lecției

Inecuațiile logaritmice combină domeniul strict pozitiv cu monotonia funcției logaritmice. Pentru bază mai mare ca 1, sensul se păstrează; pentru bază între 0 și 1, se inversează.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Dacă \(a>1\), \(\log_a f(x)>\log_a g(x)\iff f(x)>g(x)\), cu ambele argumente pozitive.
  • Dacă \(0
  • Domeniul argumentelor pozitive trebuie intersectat cu soluția comparației.

Reguli și legături importante

  • Nu elimina logaritmii înainte de a scrie domeniul.
  • Pentru bază subunitară, notează explicit „funcție descrescătoare” înainte de inversarea sensului.
  • Soluția finală este intersecția tuturor condițiilor.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Scrie domeniul.
  2. Pasul 2. Identifică baza și monotonia.
  3. Pasul 3. Compară argumentele cu sensul corespunzător.
  4. Pasul 4. Rezolvă și intersectează cu domeniul.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Rezolvă \(\log_2(x-1)>1\).

Pasul 1. Domeniul: \(x>1\).

Pasul 2. Baza 2 este mai mare decît 1, deci sensul se păstrează: \(x-1>2\).

Pasul 3. Rezultă \(x>3\), care este deja inclus în domeniu.

Concluzie. \(S=(3,+\infty)\).

Greșeală frecventă

La logaritmi, domeniul poate elimina porțiuni întregi din soluția algebrică. Nu îl trata ca pe o verificare decorativă.

Verificare rapidă

  • Pentru baza \(10\), sensul se păstrează?
    Vezi răspunsul

    Da.

  • Pentru baza \(1/2\)?
    Vezi răspunsul

    Se inversează.

  • Argumentele logaritmilor trebuie să fie?
    Vezi răspunsul

    Strict pozitive.

Exerciții

1
Rezolvă \(\log_2 x<3\).
2
Rezolvă \(\log_{1/2}x>0\).
3
Rezolvă \(\log_3(x-1)\ge1\).
4
Pentru baza \(10\), sensul se păstrează?
5
Pentru baza \(1/2\)?
6
Argumentele logaritmilor trebuie să fie?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă \(\log_2(x-1)>1\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „La logaritmi, domeniul poate elimina porțiuni întregi din soluția algebrică. Nu îl trata ca pe o verificare decorativă.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor