A18 - Schimbarea bazei logaritmului și calcule

Ideea lecției

Uneori baza dorită nu apare convenabil în problemă sau pe calculator. Formula schimbării bazei arată că orice logaritm poate fi exprimat prin logaritmi într-o altă bază admisă. Ea permite și compararea unor logaritmi aparent diferiți.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(\log_a b=\displaystyle\frac{\log_c b}{\log_c a}\), unde \(a,b,c>0\), \(a,c\ne1\).
  • În particular, \(\log_a b=\displaystyle\frac{\ln b}{\ln a}\).
  • \(\log_a b\cdot\log_b a=1\).

Reguli și legături importante

  • Alege o bază comună care simplifică valorile.
  • Nu uita că numitorul \(\log_c a\) trebuie să fie nenul, ceea ce corespunde lui \(a\ne1\).
  • Formula este o consecință a faptului că dacă \(a^x=b\), atunci \(x\log_c a=\log_c b\).

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Scrie logaritmul ca necunoscut \(x\).
  2. Pasul 2. Transformă \(a^x=b\).
  3. Pasul 3. Aplică logaritm în baza convenabilă ambelor membre.
  4. Pasul 4. Izolează \(x\) și obține formula schimbării bazei.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Exprimă \(\log_2 7\) folosind logaritmi naturali.

Pasul 1. Alegem baza \(e\), adică folosim \(\ln\).

Pasul 2. Aplicăm formula: \(\log_2 7=\displaystyle\frac{\ln7}{\ln2}\).

Pasul 3. Aceasta este forma exactă; aproximarea se face doar dacă este cerută.

Concluzie. \(\log_2 7=\displaystyle\frac{\ln7}{\ln2}\).

Greșeală frecventă

Nu inversa raportul: numărătorul conține logaritmul argumentului, numitorul logaritmul bazei inițiale.

Verificare rapidă

  • Completează: \(\log_a b=\displaystyle\frac{\ln b}{\;?\;}\).
    Vezi răspunsul

    \(\ln a\).

  • Cît este \(\log_a b\cdot\log_b a\)?
    Vezi răspunsul

    1.

  • Poate fi baza nouă \(c=1\)?
    Vezi răspunsul

    Nu.

Exerciții

1
Exprimă \(\log_3 5\) prin \(\ln\).

\(\displaystyle \log_a b=\displaystyle\frac{\log_c b}{\log_c a}\)

2
Calculează \(\log_2 8\cdot\log_8 2\).
3
Dacă \(\log_2 7=a\), exprimă \(\log_7 2\).
4
Completează: \(\log_a b=\displaystyle\frac{\ln b}{\;?\;}\).
5
Cît este \(\log_a b\cdot\log_b a\)?
6
Poate fi baza nouă \(c=1\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Exprimă \(\log_2 7\) folosind logaritmi naturali.
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu inversa raportul: numărătorul conține logaritmul argumentului, numitorul logaritmul bazei inițiale.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor