A56 - Unghi dublu, semiunghi și formule de reducere

Ideea lecției

Formulele pentru unghi dublu și semiunghi sînt cazuri speciale ale formulelor de adunare. Formulele de reducere permit mutarea unghiurilor în cadranul I, păstrînd funcția sau schimbînd-o după tipul unghiului de referință.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(\sin2x=2\sin x\cos x\).
  • \(\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\).
  • \(\sin^2\displaystyle\frac x2=\displaystyle\frac{1-\cos x}{2}\), \(\cos^2\displaystyle\frac x2=\displaystyle\frac{1+\cos x}{2}\).

Reguli și legături importante

  • La semiunghi, semnul lui \(\sin(x/2)\) sau \(\cos(x/2)\) se decide din cadran.
  • La reducere, mai întîi identifică unghiul de referință și cadranul.
  • Formele multiple ale lui \(\cos2x\) se aleg după datele problemei.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Identifică dacă expresia conține \(2x\) sau \(x/2\).
  2. Pasul 2. Alege formula care folosește valorile deja cunoscute.
  3. Pasul 3. Determină semnul după cadran dacă extragi rădăcină.
  4. Pasul 4. Simplifică și verifică printr-un unghi simplu dacă formula a fost aplicată corect.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Dacă \(\sin x=3/5\), \(\cos x=4/5\), calculează \(\sin2x\).

Pasul 1. Folosim \(\sin2x=2\sin x\cos x\).

Pasul 2. Înlocuim: \(2\cdot\displaystyle\frac35\cdot\displaystyle\frac45\).

Pasul 3. Rezultă \(\displaystyle\frac{24}{25}\).

Concluzie. \(\sin2x=24/25\).

Greșeală frecventă

Formulele de semiunghi dau de obicei pătratul funcției; nu pierde informația despre semn când extragi rădăcina.

Verificare rapidă

  • Formula lui \(\sin2x\)?
    Vezi răspunsul

    \(2\sin x\cos x\).

  • O formă a lui \(\cos2x\)?
    Vezi răspunsul

    \(\cos^2x-\sin^2x\).

  • La semiunghi trebuie verificat?
    Vezi răspunsul

    Cadranul pentru alegerea semnului.

Exerciții

1
Dacă \(\sin x=1/2\), \(\cos x=\sqrt3/2\), află \(\sin2x\).

\(\displaystyle \sin2x=2\sin x\cos x
\cos2x=\cos^2x-\sin^2x\)

2
Simplifică \(1-2\sin^2x\).
3
Exprimă \(\cos^2(x/2)\) prin \(\cos x\).
4
Formula lui \(\sin2x\)?
5
O formă a lui \(\cos2x\)?
6
La semiunghi trebuie verificat?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Dacă \(\sin x=3/5\), \(\cos x=4/5\), calculează \(\sin2x\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Formulele de semiunghi dau de obicei pătratul funcției; nu pierde informația despre semn când extragi rădăcina.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor