G18 - Poligoane convexe: unghiuri și diagonale

Ideea lecției

Un poligon convex poate fi împărțit în triunghiuri dintr-un singur vîrf. Din această descompunere rezultă formulele pentru suma unghiurilor interioare și numărul diagonalelor.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Suma unghiurilor interioare ale unui \(n\)-gon convex este \((n-2)180^\circ\).
  • Suma unui set de unghiuri exterioare, cîte unul la fiecare vîrf în același sens, este \(360^\circ\).
  • Numărul diagonalelor este \(\displaystyle\frac{n(n-3)}2\).

Reguli și legături importante

  • Dintr-un vîrf se pot trasa \(n-3\) diagonale.
  • În formula totală a diagonalelor împărțim cu 2 deoarece fiecare diagonală este numărată de la ambele capete.
  • Convexitatea asigură descompunerea simplă în \(n-2\) triunghiuri.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Identifică numărul laturilor \(n\).
  2. Pasul 2. Pentru suma unghiurilor, imaginează \(n-2\) triunghiuri.
  3. Pasul 3. Pentru diagonale, numără legăturile din fiecare vîrf și corectează dubla numărare.
  4. Pasul 4. Verifică formula pe patrulater sau pentagon.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Cîte diagonale are un decagon?

Pasul 1. Pentru decagon \(n=10\).

Pasul 2. Aplicăm \(d=\displaystyle\frac{n(n-3)}2\).

Pasul 3. \(d=\displaystyle\frac{10\cdot7}{2}=35\).

Concluzie. Decagonul are 35 de diagonale.

Greșeală frecventă

Nu folosi \(n(n-3)\) fără împărțirea la 2; ai număra fiecare diagonală de două ori.

Verificare rapidă

  • Suma unghiurilor unui pentagon?
    Vezi răspunsul

    \(3\cdot180^\circ=540^\circ\).

  • Suma unghiurilor exterioare?
    Vezi răspunsul

    \(360^\circ\).

  • Formula diagonalelor?
    Vezi răspunsul

    \(n(n-3)/2\).

Exerciții

1
Suma unghiurilor interioare ale unui hexagon?

\(\displaystyle S=(n-2)180^\circ
d=\displaystyle\frac{n(n-3)}2\)

2
Cîte diagonale are un pentagon?
3
Cîte diagonale pleacă dintr-un vîrf al unui octogon?
4
Suma unghiurilor unui pentagon?
5
Suma unghiurilor exterioare?
6
Formula diagonalelor?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Cîte diagonale are un decagon?
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu folosi \(n(n-3)\) fără împărțirea la 2; ai număra fiecare diagonală de două ori.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor