A43 - Funcția putere

Ideea lecției

Familia \(f(x)=x^n\) își schimbă radical comportamentul după paritatea exponentului. Pentru exponent par apare simetrie față de \(Oy\) și valori nenegative; pentru exponent impar apare simetrie față de origine și valorile acoperă toate numerele reale.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Pentru \(n\) par, \(x^n\) este funcție pară și \(f(x)\ge0\).
  • Pentru \(n\) impar, \(x^n\) este funcție impară și strict crescătoare pentru exponenți naturali pozitivi uzuali.
  • Punctele \((-1,(-1)^n),(0,0),(1,1)\) sînt repere utile.

Reguli și legături importante

  • Paritatea exponentului determină simetria.
  • Nu confunda funcția putere \(x^n\) cu funcția exponențială \(a^x\): la prima variabila este baza, la a doua variabila este exponentul.
  • Pentru exponenți negativi sau reali, domeniul trebuie analizat separat.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Identifică tipul exponentului.
  2. Pasul 2. Stabilește domeniul și paritatea funcției.
  3. Pasul 3. Analizează semnul valorilor și monotonia pe intervale.
  4. Pasul 4. Folosește puncte reper pentru schiță.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Compară proprietățile lui \(x^2\) și \(x^3\).

Pasul 1. \(x^2\) este pară, are valori nenegative și minim 0.

Pasul 2. \(x^3\) este impară și ia toate valorile reale.

Pasul 3. Graficul lui \(x^2\) este simetric față de \(Oy\), al lui \(x^3\) față de origine.

Concluzie. Paritatea exponentului explică diferențele principale.

Greșeală frecventă

Funcția \(x^n\) și funcția \(n^x\) nu sînt aceeași familie.

Verificare rapidă

  • \(x^4\) este pară sau impară?
    Vezi răspunsul

    Pară.

  • \(x^5\) este pară sau impară?
    Vezi răspunsul

    Impară.

  • Variabila din \(a^x\) este baza?
    Vezi răspunsul

    Nu, este exponentul.

Exerciții

1
Este \(x^6\) pară?
2
Care este imaginea lui \(x^2\)?
3
Care este imaginea lui \(x^3\)?
4
\(x^4\) este pară sau impară?
5
\(x^5\) este pară sau impară?
6
Variabila din \(a^x\) este baza?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Compară proprietățile lui \(x^2\) și \(x^3\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Funcția \(x^n\) și funcția \(n^x\) nu sînt aceeași familie.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor