A28 - Periodicitatea funcțiilor

Ideea lecției

Periodicitatea înseamnă repetarea exactă a valorilor după o deplasare fixă a argumentului. Ideea apare natural la mișcări circulare și funcții trigonometrice, dar definiția este generală.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(T>0\) este perioadă dacă \(f(x+T)=f(x)\) pentru toate valorile pentru care ambele expresii au sens.
  • Cea mai mică perioadă pozitivă, dacă există, se numește perioadă principală.
  • Dacă \(T\) este perioadă, atunci multiplii întregi ai lui \(T\) produc aceeași repetare.

Reguli și legături importante

  • Nu orice funcție periodică are neapărat o „cea mai mică” perioadă în sensul intuitiv; funcțiile constante cer atenție.
  • Perioada se referă la argument, nu la amplitudine.
  • Pentru \(\sin x\) și \(\cos x\), perioada principală este \(2\pi\).

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Propune o valoare \(T>0\).
  2. Pasul 2. Calculează \(f(x+T)\).
  3. Pasul 3. Simplifică și verifică dacă rezultatul este identic cu \(f(x)\).
  4. Pasul 4. Dacă se cere perioada principală, justifică de ce nu există una pozitivă mai mică.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Arată că \(f(x)=\sin x\) are perioada \(2\pi\).

Pasul 1. Calculăm \(f(x+2\pi)=\sin(x+2\pi)\).

Pasul 2. Pe cercul trigonometric o rotație completă nu schimbă punctul.

Pasul 3. Prin urmare \(\sin(x+2\pi)=\sin x\).

Concluzie. \(2\pi\) este o perioadă a funcției sinus.

Greșeală frecventă

Nu confunda faptul că două valori izolate sînt egale cu periodicitatea; relația trebuie să fie valabilă pentru toate argumentele admise.

Verificare rapidă

  • Ce condiție verifică o perioadă \(T\)?
    Vezi răspunsul

    \(f(x+T)=f(x)\).

  • Care este perioada principală a lui \(\cos x\)?
    Vezi răspunsul

    \(2\pi\).

  • Perioada descrie o deplasare pe axa lui \(x\) sau a lui \(y\)?
    Vezi răspunsul

    Pe axa lui \(x\).

Exerciții

1
Este \(2\pi\) perioadă pentru \(\cos x\)?

\(\displaystyle f(x+T)=f(x)\)

2
Care este perioada principală a lui \(\tan x\)?
3
Dacă f are perioada 4, cu ce este egal \(f(x+8)\)?
4
Ce condiție verifică o perioadă \(T\)?
5
Care este perioada principală a lui \(\cos x\)?
6
Perioada descrie o deplasare pe axa lui \(x\) sau a lui \(y\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Arată că \(f(x)=\sin x\) are perioada \(2\pi\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu confunda faptul că două valori izolate sînt egale cu periodicitatea; relația trebuie să fie valabilă pentru toate argumentele admise.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor