G13 - Bisectoarele și centrul cercului înscris

Ideea lecției

Bisectoarea împarte un unghi în două unghiuri congruente. Punctele de pe bisectoare sînt egal depărtate de laturile unghiului, iar concurența celor trei bisectoare ale triunghiului produce centrul cercului înscris.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Bisectoarea unui unghi îl împarte în două unghiuri congruente.
  • Orice punct de pe bisectoare este egal depărtat de laturile unghiului; reciproca este de asemenea adevărată.
  • Bisectoarele interioare ale unui triunghi sînt concurente în incentru \(I\).
  • Distanța de la \(I\) la fiecare latură este raza \(r\) a cercului înscris.

Reguli și legături importante

  • Distanța de la un punct la o dreaptă se măsoară pe perpendiculară.
  • Incentrul se află întotdeauna în interiorul triunghiului.
  • Teorema bisectoarei într-un triunghi leagă segmentele bazei de raportul laturilor adiacente.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Identifică bisectoarele interioare.
  2. Pasul 2. Folosește egalitatea distanțelor la laturile unghiului.
  3. Pasul 3. Pentru triunghi, intersectează două bisectoare; a treia trece prin același punct.
  4. Pasul 4. Construiește perpendiculare din incentru pe laturi pentru raza cercului înscris.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. De ce centrul cercului înscris este egal depărtat de toate cele trei laturi?

Pasul 1. Incentrul aparține bisectoarei unghiului \(A\), deci este egal depărtat de \(AB\) și \(AC\).

Pasul 2. El aparține și bisectoarei unghiului \(B\), deci distanța la \(BA\) este egală cu distanța la \(BC\).

Pasul 3. Prin tranzitivitate, toate cele trei distanțe sînt egale.

Concluzie. Aceste trei distanțe comune formează raza cercului înscris.

Greșeală frecventă

Nu confunda bisectoarea cu mediana: una împarte un unghi, cealaltă ajunge la mijlocul unei laturi.

I
Bisectoarele se întâlnesc în incentru, centrul cercului înscris.

Verificare rapidă

  • Cum se numește punctul de concurență al bisectoarelor?
    Vezi răspunsul

    Incentrul.

  • Ce reprezintă distanța lui la laturi?
    Vezi răspunsul

    Raza cercului înscris.

  • Este incentrul în interior?
    Vezi răspunsul

    Da.

Exerciții

1
Un punct de pe bisectoare este la 4 cm de o latură. Distanța la cealaltă latură?
2
Cum se numește centrul cercului înscris?
3
Raza cercului înscris este perpendiculară pe latură în punctul de tangență?
4
Cum se numește punctul de concurență al bisectoarelor?
5
Ce reprezintă distanța lui la laturi?
6
Este incentrul în interior?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: De ce centrul cercului înscris este egal depărtat de toate cele trei laturi?
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu confunda bisectoarea cu mediana: una împarte un unghi, cealaltă ajunge la mijlocul unei laturi.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor