A41 - Inecuații de gradul II

Ideea lecției

O inecuație de gradul II se rezolvă prin semnul parabolei sau al produsului factorizat. Rădăcinile împart axa în intervale pe care semnul expresiei este constant.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Pentru \(a>0\) și două rădăcini \(x_1
  • Pentru \(a<0\), semnele se inversează.
  • La \(\ge0\) sau \(\le0\), rădăcinile se includ; la semne stricte, nu.

Reguli și legături importante

  • Dacă \(\Delta<0\), trinomul are mereu semnul lui \(a\).
  • Dacă \(\Delta=0\), trinomul atinge zero într-un singur punct și nu schimbă semnul.
  • Un tabel de semne face vizibilă alegerea intervalelor.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Adu inecuația la forma \(ax^2+bx+c\ ?\ 0\).
  2. Pasul 2. Determină rădăcinile sau arată că nu există.
  3. Pasul 3. Plasează rădăcinile pe axă și stabilește semnul pe intervale.
  4. Pasul 4. Selectează intervalele compatibile cu semnul cerut și tratează capetele.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Rezolvă \(x^2-5x+6\le0\).

Pasul 1. Factorizăm: \((x-2)(x-3)\le0\).

Pasul 2. Rădăcinile sînt 2 și 3, iar coeficientul principal este pozitiv.

Pasul 3. Trinomul este nepozitiv între rădăcini, inclusiv la ele.

Concluzie. \(S=[2,3]\).

Greșeală frecventă

Nu alege automat „între rădăcini”; pentru \(a<0\) sau pentru semnul opus, soluția se schimbă.

Verificare rapidă

  • Pentru \(a>0\), unde este trinomul pozitiv față de două rădăcini?
    Vezi răspunsul

    În exteriorul intervalului dintre rădăcini.

  • Se includ rădăcinile la \(\le0\)?
    Vezi răspunsul

    Da.

  • Ce semn are trinomul fără rădăcini reale dacă \(a>0\)?
    Vezi răspunsul

    Pozitiv pentru orice \(x\).

Exerciții

1
Rezolvă \((x-1)(x-4)>0\).
2
Rezolvă \(x^2-4\le0\).
3
Ce semn are \(x^2+1\) pentru orice x real?
4
Pentru \(a>0\), unde este trinomul pozitiv față de două rădăcini?
5
Se includ rădăcinile la \(\le0\)?
6
Ce semn are trinomul fără rădăcini reale dacă \(a>0\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă \(x^2-5x+6\le0\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu alege automat „între rădăcini”; pentru \(a<0\) sau pentru semnul opus, soluția se schimbă.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor