A27 - Paritatea și simetria graficului

Ideea lecției

Paritatea unei funcții este o relație dintre valorile la \(x\) și \(-x\). Ea oferă imediat o simetrie a graficului și poate reduce la jumătate munca de studiu sau desenare.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Funcția este pară dacă domeniul este simetric față de 0 și \(f(-x)=f(x)\).
  • Funcția este impară dacă domeniul este simetric și \(f(-x)=-f(x)\).
  • Graficul unei funcții pare este simetric față de axa \(Oy\); al unei funcții impare, față de origine.

Reguli și legături importante

  • O funcție poate fi nici pară, nici impară.
  • Verificarea formulei nu este suficientă dacă domeniul nu este simetric.
  • Funcția identic zero este și pară, și impară.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Verifică simetria domeniului.
  2. Pasul 2. Calculează \(f(-x)\).
  3. Pasul 3. Compară cu \(f(x)\) și cu \(-f(x)\).
  4. Pasul 4. Tradu concluzia în simetrie geometrică.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Determină paritatea lui \(f(x)=x^3-2x\).

Pasul 1. Domeniul este \(\mathbb R\), simetric față de 0.

Pasul 2. \(f(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x\).

Pasul 3. Acesta este \(-f(x)\), deci funcția este impară.

Concluzie. Funcția este impară; graficul este simetric față de origine.

Greșeală frecventă

Nu decide paritatea doar după „cum arată” formula; calculează întotdeauna \(f(-x)\).

Verificare rapidă

  • Ce simetrie are o funcție pară?
    Vezi răspunsul

    Față de axa \(Oy\).

  • Ce relație definește o funcție impară?
    Vezi răspunsul

    \(f(-x)=-f(x)\).

  • Poate o funcție fi nici pară, nici impară?
    Vezi răspunsul

    Da.

Exerciții

1
Determină paritatea lui \(f(x)=x^4+2\).

\(\displaystyle f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)\)

2
Determină paritatea lui \(g(x)=x^5\).
3
Funcția \(h(x)=x+1\) este pară sau impară?
4
Ce simetrie are o funcție pară?
5
Ce relație definește o funcție impară?
6
Poate o funcție fi nici pară, nici impară?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Determină paritatea lui \(f(x)=x^3-2x\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu decide paritatea doar după „cum arată” formula; calculează întotdeauna \(f(-x)\).” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor