A13 - Radicali de ordin n și condiții de existență

Ideea lecției

Radicalul de ordin \(n\) este operația inversă ridicării la puterea \(n\), dar domeniul depinde de paritatea lui \(n\). Pentru ordin par, expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă; pentru ordin impar, radicalul este definit pentru orice număr real.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(\sqrt[n]{a}=b\) înseamnă \(b^n=a\), cu alegerea rădăcinii reale corespunzătoare.
  • Pentru \(n\) par, \(\sqrt[n]{a}\) este definit în \(\mathbb R\) numai pentru \(a\ge0\).
  • Pentru \(n\) impar, \(\sqrt[n]{a}\) este definit pentru orice \(a\in\mathbb R\).
  • \(\sqrt{x^2}=|x|\), nu \(x\) pentru toate valorile reale.

Reguli și legături importante

  • La radical de ordin par, verifică domeniul înainte de orice transformare.
  • \(\sqrt[n]{a^n}=|a|\) dacă \(n\) este par, iar \(=a\) dacă \(n\) este impar.
  • Factorii care sînt puteri perfecte pot fi extrași din radical.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Observă ordinul radicalului.
  2. Pasul 2. Dacă ordinul este par, impune radicandul \(\ge0\).
  3. Pasul 3. Descompune radicandul în factori potriviți pentru a extrage puteri perfecte.
  4. Pasul 4. Verifică semnul factorului extras atunci când ordinul este par.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Simplifică \(\sqrt{72}\) și precizează de ce rezultatul este real.

Pasul 1. Radicalul este de ordin 2, iar \(72>0\), deci este definit în \(\mathbb R\).

Pasul 2. Descompunem \(72=36\cdot2\).

Pasul 3. \(\sqrt{72}=\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2\).

Concluzie. \(\sqrt{72}=6\sqrt2\).

Greșeală frecventă

Formula \(\sqrt{x^2}=x\) este falsă pentru \(x<0\); formula corectă este \(\sqrt{x^2}=|x|\).

Verificare rapidă

  • Este definit \(\sqrt{-4}\) în \(\mathbb R\)?
    Vezi răspunsul

    Nu.

  • Este definit \(\sqrt[3]{-8}\)?
    Vezi răspunsul

    Da, și este \(-2\).

  • Cît este \(\sqrt{x^2}\)?
    Vezi răspunsul

    \(|x|\).

Exerciții

1
Simplifică \(\sqrt{50}\).

\(\displaystyle \sqrt[n]{a^n}=\begin{cases}|a|,&n\text{ par}\\a,&n\text{ impar}\end{cases}\)

2
Calculează \(\sqrt[3]{-27}\).
3
Determină domeniul lui \(\sqrt{2x-6}\).
4
Este definit \(\sqrt{-4}\) în \(\mathbb R\)?
5
Este definit \(\sqrt[3]{-8}\)?
6
Cît este \(\sqrt{x^2}\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Simplifică \(\sqrt{72}\) și precizează de ce rezultatul este real.
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Formula \(\sqrt{x^2}=x\) este falsă pentru \(x<0\); formula corectă este \(\sqrt{x^2}=|x|\).” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor