A38 - Funcția de gradul II și parabola

Ideea lecției

Funcția \(f(x)=ax^2+bx+c\) are grafic o parabolă. În loc să construim multe puncte, folosim structura: sensul deschiderii, axa de simetrie, vîrful și intersecțiile cu axele.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(a\ne0\).
  • Axa de simetrie este \(x=-\displaystyle\frac b{2a}\).
  • Vîrful are abscisa \(x_V=-\displaystyle\frac b{2a}\), iar ordonata \(y_V=f(x_V)=-\displaystyle\frac\Delta{4a}\).
  • Dacă \(a>0\), parabola este deschisă în sus; dacă \(a<0\), în jos.

Reguli și legături importante

  • Vîrful oferă minimul pentru \(a>0\) și maximul pentru \(a<0\).
  • Intersecția cu \(Oy\) este \((0,c)\).
  • Intersecțiile cu \(Ox\) sînt rădăcinile ecuației \(ax^2+bx+c=0\), dacă există.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Identifică \(a,b,c\).
  2. Pasul 2. Calculează axa și vîrful.
  3. Pasul 3. Stabilește deschiderea după semnul lui \(a\).
  4. Pasul 4. Determină intersecțiile cu axele și schițează forma simetrică.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Studiază vîrful lui \(f(x)=x^2-4x+3\).

Pasul 1. \(a=1\), \(b=-4\), deci \(x_V=-\displaystyle\frac{-4}{2}=2\).

Pasul 2. \(y_V=f(2)=4-8+3=-1\).

Pasul 3. Cum \(a>0\), vîrful reprezintă minimul funcției.

Concluzie. Vîrful este \(V(2,-1)\), iar valoarea minimă este \(-1\).

Greșeală frecventă

Nu confunda axa de simetrie \(x=x_V\) cu o axă de coordonate. Ea depinde de coeficienții funcției.

Verificare rapidă

  • Dacă \(a<0\), parabola se deschide?
    Vezi răspunsul

    În jos.

  • Care este abscisa vîrfului?
    Vezi răspunsul

    \(-\displaystyle\frac b{2a}\).

  • Unde intersectează \(Oy\)?
    Vezi răspunsul

    În \((0,c)\).

Exerciții

1
Găsește axa de simetrie pentru \(x^2+6x+5\).

\(\displaystyle x_V=-\displaystyle\frac b{2a}
y_V=-\displaystyle\frac\Delta{4a}\)

2
Parabola \(-2x^2+3x+1\) este deschisă în sus sau jos?
3
Găsește intersecția cu Oy pentru \(2x^2-x+7\).
4
Dacă \(a<0\), parabola se deschide?
5
Care este abscisa vîrfului?
6
Unde intersectează \(Oy\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Studiază vîrful lui \(f(x)=x^2-4x+3\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu confunda axa de simetrie \(x=x_V\) cu o axă de coordonate. Ea depinde de coeficienții funcției.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor