G19 - Poligoane regulate, cerc înscris și cerc circumscris

Ideea lecției

Un poligon regulat are toate laturile și toate unghiurile congruente. Simetria lui produce un centru comun pentru cercul înscris și circumscris și permite descompunerea în triunghiuri isoscele congruente.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Într-un \(n\)-gon regulat, unghiul la centru este \(\displaystyle\frac{360^\circ}{n}\).
  • Fiecare unghi interior este \(\displaystyle\frac{(n-2)180^\circ}{n}\).
  • Apotema este distanța de la centru la o latură și coincide cu raza cercului înscris.
  • Poligonul regulat poate fi împărțit în \(n\) triunghiuri congruente cu vîrful în centru.

Reguli și legături importante

  • Raza cercului circumscris merge la vîrfuri; apotema/r raza cercului înscris merge perpendicular la laturi.
  • Formula ariei poate fi scrisă \(A=Pr/2\).
  • Pentru relații între latură și raze, folosește triunghiul dreptunghic format din centru, un vîrf și mijlocul unei laturi.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Calculează unghiul la centru.
  2. Pasul 2. Împarte unul dintre triunghiurile isoscele în două triunghiuri dreptunghice.
  3. Pasul 3. Folosește trigonometria pentru latură, rază sau apotemă.
  4. Pasul 4. Pentru arie, însumează ariile triunghiurilor sau folosește \(Pr/2\).

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Care este unghiul la centru al unui hexagon regulat?

Pasul 1. Hexagonul are \(n=6\) laturi.

Pasul 2. Împărțim rotația completă în 6 unghiuri egale.

Pasul 3. \(360^\circ/6=60^\circ\).

Concluzie. Unghiul la centru este \(60^\circ\).

Greșeală frecventă

Nu confunda raza cercului circumscris cu apotema: ele sînt egale doar în situații degenerative, nu pentru un poligon regulat obișnuit.

apotemăR
În poligonul regulat, centrul unește vârfurile și mijloacele laturilor într-o structură simetrică.

Verificare rapidă

  • Ce este apotema?
    Vezi răspunsul

    Distanța de la centru la o latură.

  • Unghiul la centru al unui pătrat?
    Vezi răspunsul

    \(90^\circ\).

  • Formula ariei cu perimetrul \(P\) și apotema \(r\)?
    Vezi răspunsul

    \(A=Pr/2\).

Exerciții

1
Unghiul la centru al unui decagon regulat?

\(\displaystyle A=\displaystyle\frac{Pr}{2}
\theta=\displaystyle\frac{360^\circ}{n}\)

2
Un poligon regulat are P=30 și apotema 4. Aria?
3
Raza cercului înscris unui poligon regulat este numită și?
4
Ce este apotema?
5
Unghiul la centru al unui pătrat?
6
Formula ariei cu perimetrul \(P\) și apotema \(r\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Care este unghiul la centru al unui hexagon regulat?
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu confunda raza cercului circumscris cu apotema: ele sînt egale doar în situații degenerative, nu pentru un poligon regulat obișnuit.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor