Mediana unește un vîrf cu mijlocul laturii opuse. Cele trei mediane sînt concurente în centrul de greutate, iar acest punct împarte fiecare mediană în raport \(2:1\), partea mai lungă fiind spre vîrf.
În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.
Noțiuni-cheie
Mediana pleacă dintr-un vîrf și ajunge la mijlocul laturii opuse.
Cele trei mediane sînt concurente în centrul de greutate \(G\).
Pe o mediană \(AM\), \(AG:GM=2:1\), deci \(AG=\displaystyle\frac23 AM\).
Reguli și legături importante
Centrul de greutate este întotdeauna în interiorul triunghiului.
Mediana nu este în general perpendiculară pe latura opusă.
Într-un triunghi echilateral, medianele coincid cu înălțimile, bisectoarele și mediatoarele corespunzătoare.
Înțelegere pas cu pas
Pasul 1. Identifică mijlocul laturii și mediana.
Pasul 2. Folosește raportul \(2:1\) de la vîrf spre mijloc.
Pasul 3. Transformă raportul în fracțiile \(2/3\) și \(1/3\) din mediana completă.
Problemă. Mediana \(AM=12\) cm. Află \(AG\) și \(GM\).
Pasul 1. Centrul de greutate împarte mediana în raport \(2:1\).
Pasul 2. Întreaga mediană reprezintă 3 părți egale, deci o parte este 4 cm.
Pasul 3. \(AG=8\) cm și \(GM=4\) cm.
Concluzie. \(AG=8\) cm, \(GM=4\) cm.
Greșeală frecventă
Raportul \(2:1\) se citește dinspre vîrf: segmentul de la vîrf la \(G\) este cel mai lung.
Medianele sunt concurente în centrul de greutate G.
Verificare rapidă
Unde ajunge o mediană?Vezi răspunsul
La mijlocul laturii opuse.
Cum se numește punctul de concurență?Vezi răspunsul
Centrul de greutate.
Ce fracție din mediană este vîrf–G?Vezi răspunsul
\(2/3\).
Exerciții
1
Mediana are 15 cm. Segmentul de la vîrf la G?
\(\displaystyle AG=\displaystyle\frac23 AM
GM=\displaystyle\frac13 AM\)
2
Mediana are 15 cm. Segmentul G–mijloc?
3
Unde se află centrul de greutate?
4
Unde ajunge o mediană?
5
Cum se numește punctul de concurență?
6
Ce fracție din mediană este vîrf–G?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Mediana \(AM=12\) cm. Află \(AG\) și \(GM\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Raportul \(2:1\) se citește dinspre vîrf: segmentul de la vîrf la \(G\) este cel mai lung.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.