A47 - Inecuații exponențiale

Ideea lecției

La inecuațiile exponențiale, monotonia bazei decide sensul comparației exponenților. Cu baza mai mare ca 1, sensul se păstrează; cu baza între 0 și 1, sensul se inversează.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Dacă \(a>1\), \(a^{f(x)}>a^{g(x)}\iff f(x)>g(x)\).
  • Dacă \(0a^{g(x)}\iff f(x)
  • Valorile exponențiale sînt întotdeauna pozitive.

Reguli și legături importante

  • Adu membrii la aceeași bază dacă este posibil.
  • Notează explicit dacă baza este crescătoare sau descrescătoare înainte de a compara exponenții.
  • Pentru forme mai complicate, substituția \(t=a^x>0\) poate transforma problema într-o inecuație algebrică.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Identifică baza și poziția ei față de 1.
  2. Pasul 2. Rescrie membrii la aceeași bază.
  3. Pasul 3. Compară exponenții cu sensul corect.
  4. Pasul 4. Rezolvă inecuația rezultată și scrie intervalul.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Rezolvă \((\displaystyle\frac12)^x>\displaystyle\frac18\).

Pasul 1. Scriem \(\displaystyle\frac18=(\displaystyle\frac12)^3\).

Pasul 2. Baza \(\displaystyle\frac12\) este între 0 și 1, deci funcția este descrescătoare.

Pasul 3. Prin urmare \((\displaystyle\frac12)^x>(\displaystyle\frac12)^3\iff x<3\).

Concluzie. \(S=( -\infty,3)\).

Greșeală frecventă

Cea mai frecventă eroare este păstrarea sensului pentru o bază \(0

Verificare rapidă

  • Pentru baza 3, sensul exponenților se păstrează?
    Vezi răspunsul

    Da.

  • Pentru baza \(1/4\)?
    Vezi răspunsul

    Se inversează.

  • Poate \(a^x\) fi negativ?
    Vezi răspunsul

    Nu, pentru \(a>0\).

Exerciții

1
Rezolvă \(2^x>8\).
2
Rezolvă \((1/3)^x\le1\).
3
Rezolvă \(4^{x-1}<1\).
4
Pentru baza 3, sensul exponenților se păstrează?
5
Pentru baza \(1/4\)?
6
Poate \(a^x\) fi negativ?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă \((\displaystyle\frac12)^x>\displaystyle\frac18\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Cea mai frecventă eroare este păstrarea sensului pentru o bază \(0
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor