A20 - Permutări și aranjamente

Ideea lecției

Permutările și aranjamentele apar atunci cînd ordinea contează. Permutarea folosește toate obiectele, iar aranjamentul selectează numai o parte dintre ele și ține cont de pozițiile ocupate.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Numărul permutărilor a \(n\) obiecte distincte este \(P_n=n!\).
  • Numărul aranjamentelor de \(n\) obiecte luate cîte \(k\) este \(A_n^k=\displaystyle\frac{n!}{(n-k)!}\).
  • Factorialul este \(n!=1\cdot2\cdots n\), iar \(0!=1\).

Reguli și legături importante

  • Dacă folosim toate obiectele și ordinea contează, alegem permutări.
  • Dacă alegem \(k
  • Înainte de formulă, întreabă: „dacă schimb ordinea, obțin un rezultat nou?”.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Identifică numărul total de obiecte \(n\).
  2. Pasul 2. Stabilește cîte obiecte/poziții se folosesc, \(k\).
  3. Pasul 3. Decide dacă ordinea contează.
  4. Pasul 4. Aplică formula și simplifică factorialele înainte de a calcula numere mari.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. În cîte moduri pot fi alese și ordonate locurile I, II și III dintre 7 concurenți?

Pasul 1. Se aleg 3 persoane din 7, iar ordinea locurilor contează.

Pasul 2. Folosim aranjamente: \(A_7^3=\displaystyle\frac{7!}{4!}\).

Pasul 3. Simplificăm: \(7\cdot6\cdot5=210\).

Concluzie. Sînt 210 clasamente posibile.

Greșeală frecventă

Nu folosi combinări cînd pozițiile au roluri diferite. „Ana pe locul I, Dan pe locul II” diferă de ordinea inversă.

Verificare rapidă

  • Cît este \(5!\)?
    Vezi răspunsul

    120.

  • Cîte permutări au 4 obiecte?
    Vezi răspunsul

    \(4!=24\).

  • Într-un clasament contează ordinea?
    Vezi răspunsul

    Da.

Exerciții

1
Cîte permutări au 5 obiecte distincte?

\(\displaystyle P_n=n!
A_n^k=\displaystyle\frac{n!}{(n-k)!}\)

2
Cîte aranjamente de 6 luate cîte 2?
3
În cîte moduri se acordă aur și argint la 8 concurenți?
4
Cît este \(5!\)?
5
Cîte permutări au 4 obiecte?
6
Într-un clasament contează ordinea?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: În cîte moduri pot fi alese și ordonate locurile I, II și III dintre 7 concurenți?
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu folosi combinări cînd pozițiile au roluri diferite. „Ana pe locul I, Dan pe locul II” diferă de ordinea inversă.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor