G17 - Relații metrice în cerc: coarde, secante și tangente

Ideea lecției

În cerc, produse de segmente aparent diferite devin egale prin teorema puterii unui punct. Aceeași idee acoperă coarde care se intersectează, două secante dintr-un punct exterior și tangentă–secantă.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Dacă două coarde \(AB\) și \(CD\) se intersectează în \(P\), atunci \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).
  • Pentru două secante dintr-un punct exterior \(P\), produsul „segment exterior × secantă întreagă” este același.
  • Pentru tangentă \(PT\) și secantă \(PAB\), \(PT^2=PA\cdot PB\).
  • Raza la punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă.

Reguli și legături importante

  • Identifică dacă punctul este interior sau exterior cercului.
  • La secantă exterioră, nu confunda segmentul exterior cu întreaga secantă.
  • Lungimile sînt pozitive; produsul este o valoare metrică a puterii punctului.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Desenează și notează ordinea punctelor pe fiecare secantă.
  2. Pasul 2. Alege forma teoremei puterii punctului.
  3. Pasul 3. Înlocuiește segmentele exterioare și totale în pozițiile corecte.
  4. Pasul 4. Rezolvă ecuația și verifică lungimea.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Dintr-un punct exterior \(P\), \(PT\) este tangentă, iar o secantă are \(PA=4\), \(PB=9\). Află \(PT\).

Pasul 1. Folosim relația tangentă–secantă: \(PT^2=PA\cdot PB\).

Pasul 2. \(PT^2=4\cdot9=36\).

Pasul 3. Ca lungime, \(PT=6\).

Concluzie. \(PT=6\).

Greșeală frecventă

În formula secantei, \(PB\) este lungimea de la punctul exterior pînă la al doilea punct de intersecție, adică secanta întreagă.

PT
Puterea punctului leagă lungimea tangentei de produsele segmentelor secantelor.

Verificare rapidă

  • Raza și tangenta în punctul de tangență sînt?
    Vezi răspunsul

    Perpendiculare.

  • Formula tangentă–secantă?
    Vezi răspunsul

    \(PT^2=PA\cdot PB\).

  • La coarde interioare apare?
    Vezi răspunsul

    Produsul segmentelor celor două coarde.

Exerciții

1
Două coarde se intersectează: PA=2, PB=8, PC=4. PD?

\(\displaystyle PA\cdot PB=PC\cdot PD
PT^2=PA\cdot PB\)

2
Tangentă PT=10 și segment exterior PA=5. Secanta întreagă PB?
3
Raza la punctul de tangență formează ce unghi cu tangenta?
4
Raza și tangenta în punctul de tangență sînt?
5
Formula tangentă–secantă?
6
La coarde interioare apare?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Dintr-un punct exterior \(P\), \(PT\) este tangentă, iar o secantă are \(PA=4\), \(PB=9\). Află \(PT\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „În formula secantei, \(PB\) este lungimea de la punctul exterior pînă la al doilea punct de intersecție, adică secanta întreagă.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor