A53 - Proprietățile funcțiilor trigonometrice

Ideea lecției

Funcțiile trigonometrice au simetrii și perioade care provin direct din cercul trigonometric. Aceste proprietăți permit reducerea unghiurilor mari și înțelegerea graficelor fără tabele interminabile.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(\sin x\) este impară, \(\cos x\) este pară.
  • \(\sin\) și \(\cos\) au perioada \(2\pi\); \(\tan\) și \(\cot\) au perioada \(\pi\).
  • \(\sin x,\cos x\in[-1,1]\).

Reguli și legături importante

  • \(\sin(-x)=-\sin x\), \(\cos(-x)=\cos x\).
  • \(\tan(-x)=-\tan x\), acolo unde este definită.
  • Periodicitatea permite înlocuirea lui \(x\) cu \(x+2k\pi\) pentru sinus/cosinus.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Reduce unghiul folosind perioada.
  2. Pasul 2. Folosește paritatea dacă apare un argument negativ.
  3. Pasul 3. Identifică cadranul unghiului redus.
  4. Pasul 4. Aplică valoarea remarcabilă sau relația necesară.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Simplifică \(\sin(-\displaystyle\frac\pi6)\) și \(\cos(-\displaystyle\frac\pi3)\).

Pasul 1. Sinusul este impar: \(\sin(-\pi/6)=-\sin(\pi/6)=-1/2\).

Pasul 2. Cosinusul este par: \(\cos(-\pi/3)=\cos(\pi/3)=1/2\).

Pasul 3. Observăm că paritatea explică semnele fără o nouă memorare.

Concluzie. Valorile sînt \(-1/2\) și \(1/2\).

Greșeală frecventă

Perioada tangentei este \(\pi\), nu \(2\pi\) ca perioadă principală.

Verificare rapidă

  • \(\sin x\) este pară sau impară?
    Vezi răspunsul

    Impară.

  • \(\cos x\)?
    Vezi răspunsul

    Pară.

  • Perioada principală a lui \(\tan x\)?
    Vezi răspunsul

    \(\pi\).

Exerciții

1
Simplifică \(\cos(-x)\).

\(\displaystyle \sin(x+2k\pi)=\sin x
\cos(x+2k\pi)=\cos x\)

2
Simplifică \(\sin(-x)\).
3
Simplifică \(\tan(x+\pi)\).
4
\(\sin x\) este pară sau impară?
5
\(\cos x\)?
6
Perioada principală a lui \(\tan x\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Simplifică \(\sin(-\displaystyle\frac\pi6)\) și \(\cos(-\displaystyle\frac\pi3)\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Perioada tangentei este \(\pi\), nu \(2\pi\) ca perioadă principală.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor