Ideea lecției
Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea tuturor valorilor care transformă enunțul într-o egalitate adevărată. Transformările echivalente păstrează exact aceeași mulțime de soluții; transformările neechivalente pot introduce soluții străine și cer verificare.
În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.
Noțiuni-cheie
- Două ecuații sînt echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții.
- Adunarea aceleiași expresii la ambele membre păstrează echivalența.
- Înmulțirea ambelor membre cu o expresie nenulă păstrează echivalența, dar dacă expresia poate fi zero trebuie tratate cazurile.
- Domeniul valorilor admisibile se stabilește înainte de transformări care implică numitori, radicali sau logaritmi.
Reguli și legături importante
- Simplificarea algebrică trebuie însoțită de restricțiile de domeniu.
- Ridicarea la pătrat poate introduce soluții străine.
- O soluție finală trebuie verificată în ecuația inițială dacă s-au folosit transformări doar implicative.
Înțelegere pas cu pas
- Pasul 1. Stabilește domeniul valorilor admisibile.
- Pasul 2. Simplifică fiecare membru.
- Pasul 3. Aplică transformări echivalente ori notează când faci o transformare care poate adăuga soluții.
- Pasul 4. Rezolvă ecuația obținută și verifică soluțiile în ecuația inițială.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. Rezolvă \(\displaystyle\frac{x+1}{x-2}=2\).
Pasul 1. Domeniul impune \(x\ne2\).
Pasul 2. Înmulțim cu \(x-2\), nenul pe domeniu: \(x+1=2x-4\).
Pasul 3. Rezultă \(x=5\), care respectă \(x\ne2\).
Concluzie. \(S=\{5\}\).
Greșeală frecventă
Nu elimina un numitor fără să notezi valorile care îl anulează.
Verificare rapidă
- Ce au în comun ecuațiile echivalente?
Vezi răspunsul
Aceeași mulțime de soluții.
- Poate ridicarea la pătrat introduce soluții străine?
Vezi răspunsul
- Cînd stabilim domeniul?
Vezi răspunsul
Înainte de transformările care pot ascunde restricții.
Exerciții
2
Rezolvă \(\displaystyle\frac{x}{x-1}=0\).
3
Este \(x=2\) admis în \(\displaystyle\frac1{x-2}=5\)?
4
Ce au în comun ecuațiile echivalente?
5
Poate ridicarea la pătrat introduce soluții străine?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă \(\displaystyle\frac{x+1}{x-2}=2\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu elimina un numitor fără să notezi valorile care îl anulează.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.