A15 - Puterea cu exponent real

Ideea lecției

Puterea cu exponent real extinde treptat noțiunea de putere: de la exponenți naturali la întregi, raționali și apoi reali. Pentru baza pozitivă, legile puterilor rămîn coerente și permit compararea și simplificarea expresiilor.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Pentru \(a>0\), expresia \(a^x\) este definită pentru orice \(x\in\mathbb R\).
  • \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\) pentru \(a>0\), \(n\in\mathbb N^*\).
  • \(a^x a^y=a^{x+y}\), \(\displaystyle\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}\), \((a^x)^y=a^{xy}\) pentru baza pozitivă.

Reguli și legături importante

  • Exponentul negativ inversează baza: \(a^{-x}=\displaystyle\frac1{a^x}\).
  • Exponentul zero dă 1 pentru bază nenulă.
  • Pentru exponenți reali generali, lucrăm cu baze pozitive pentru a păstra o definiție reală unitară.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Adu expresiile la aceeași bază dacă este posibil.
  2. Pasul 2. Aplică legile exponenților fără a transforma inutil în zecimale.
  3. Pasul 3. Pentru exponent rațional, poți trece la radical dacă ajută.
  4. Pasul 4. Verifică restricțiile asupra bazei.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Calculează \(16^{3/4}\).

Pasul 1. Scriem \(16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3\).

Pasul 2. \(\sqrt[4]{16}=2\).

Pasul 3. Prin urmare \(16^{3/4}=2^3=8\).

Concluzie. \(16^{3/4}=8\).

Greșeală frecventă

Nu distribui exponentul peste o sumă: în general \((a+b)^x\\ne a^x+b^x\).

Verificare rapidă

  • Cît este \(9^{1/2}\)?
    Vezi răspunsul

    3.

  • Cît este \(2^{-3}\)?
    Vezi răspunsul

    \(\displaystyle\frac18\).

  • Este \((a+b)^2=a^2+b^2\)?
    Vezi răspunsul

    Nu; lipsește termenul \(2ab\).

Exerciții

1
Calculează \(27^{2/3}\).

\(\displaystyle a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}
a^{-x}=\displaystyle\frac1{a^x}\)

2
Simplifică \(2^3\cdot2^{-5}\).
3
Calculează \(16^{-1/2}\).
4
Cît este \(9^{1/2}\)?
5
Cît este \(2^{-3}\)?
6
Este \((a+b)^2=a^2+b^2\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Calculează \(16^{3/4}\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu distribui exponentul peste o sumă: în general \((a+b)^x\\ne a^x+b^x\).” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor