Ideea lecției
Combinatorica începe cu o întrebare: „Cîte posibilități există fără să le enumerăm una cîte una?”. Principiul adunării se folosește pentru alternative care nu se suprapun, iar principiul înmulțirii pentru alegeri succesive.
În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.
Noțiuni-cheie
- Principiul adunării: dacă o alegere se poate face în \(m\) moduri sau, separat, în \(n\) moduri, atunci există \(m+n\) posibilități.
- Principiul înmulțirii: dacă o procedură are două etape cu \(m\), respectiv \(n\) alegeri pentru fiecare primă alegere, atunci există \(mn\) rezultate.
- Un arbore de posibilități poate face vizibilă structura numărării.
Reguli și legături importante
- Folosește adunarea pentru cazuri alternative și disjuncte.
- Folosește înmulțirea pentru etape succesive.
- Dacă apar restricții, numără doar opțiunile permise la fiecare etapă.
Înțelegere pas cu pas
- Pasul 1. Descrie obiectul final ca o succesiune de alegeri.
- Pasul 2. Decide dacă ramurile sînt alternative sau etape.
- Pasul 3. Numără opțiunile valide la fiecare ramură/etapă.
- Pasul 4. Aplică adunarea sau înmulțirea și verifică printr-un caz mic.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. Un cod are o literă din \(\{A,B,C\}\) urmată de o cifră din \(\{1,2,3,4\}\). Cîte coduri există?
Pasul 1. Pentru prima poziție avem 3 alegeri.
Pasul 2. Pentru fiecare literă avem 4 alegeri independente pentru cifră.
Pasul 3. Prin principiul înmulțirii: \(3\cdot4=12\).
Concluzie. Există 12 coduri.
Greșeală frecventă
Nu aduna numărul alegerilor unor etape succesive. Dacă trebuie să alegi și o literă, și o cifră, posibilitățile se înmulțesc.
Verificare rapidă
- Două etape cu 5 și 3 alegeri independente dau cîte rezultate?
Vezi răspunsul
- Cînd folosim principiul adunării?
Vezi răspunsul
Pentru alternative disjuncte.
- Ce instrument vizual ajută la cazuri mici?
Vezi răspunsul
Un arbore al posibilităților.
Exerciții
1
Un meniu are 3 supe și 4 feluri principale. Cîte alegeri supă+fel principal există?
2
Poți alege fie una din 5 cărți, fie unul din 2 jocuri. Cîte alegeri?
3
Un cod are 2 litere posibile pe prima poziție și 5 cifre pe a doua. Cîte coduri?
4
Două etape cu 5 și 3 alegeri independente dau cîte rezultate?
5
Cînd folosim principiul adunării?
6
Ce instrument vizual ajută la cazuri mici?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Un cod are o literă din \(\{A,B,C\}\) urmată de o cifră din \(\{1,2,3,4\}\). Cîte coduri există?
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu aduna numărul alegerilor unor etape succesive. Dacă trebuie să alegi și o literă, și o cifră, posibilitățile se înmulțesc.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.