A04 - Modulul și proprietățile inegalităților în R

Ideea lecției

Modulul exprimă distanța față de zero și oferă o limbă compactă pentru condiții de tip „la cel mult” sau „la cel puțin”. Inegalitățile cer o atenție specială la înmulțirea sau împărțirea cu numere negative, deoarece sensul se inversează.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(|x|=x\) pentru \(x\ge0\) și \(|x|=-x\) pentru \(x<0\).
  • \(|x|\ge0\) pentru orice \(x\in\mathbb R\).
  • Inegalitatea triunghiului: \(|a+b|\le |a|+|b|\).

Reguli și legături importante

  • Dacă \(a\ge b\), atunci \(a+c\ge b+c\).
  • Dacă \(a\ge b\) și \(c>0\), atunci \(ac\ge bc\); dacă \(c<0\), sensul se inversează.
  • \(|x|0\).

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Interpretează modulul ca distanță dacă problema este geometrică.
  2. Pasul 2. Dacă explicitezi un modul, stabilește mai întîi semnul expresiei din interior.
  3. Pasul 3. La transformarea unei inegalități, notează operația efectuată pe ambele membre.
  4. Pasul 4. Dacă înmulțești sau împarți cu un număr negativ, inversează semnul inegalității.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Rezolvă \(|x-2|\le3\).

Pasul 1. Condiția spune că distanța dintre \(x\) și 2 este cel mult 3.

Pasul 2. Scriem \(-3\le x-2\le3\).

Pasul 3. Adunăm 2 în toate cele trei membre și obținem \(-1\le x\le5\).

Concluzie. \(x\in[-1,5]\).

Greșeală frecventă

Cea mai frecventă eroare este păstrarea sensului unei inegalități după înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ.

Verificare rapidă

  • Cît este \(|-7|\)?
    Vezi răspunsul

    7.

  • Ce se întîmplă cu sensul lui \(<\) la împărțirea cu \(-2\)?
    Vezi răspunsul

    Se inversează și devine \(>\).

  • Ce înseamnă \(|x|\le4\)?
    Vezi răspunsul

    \(-4\le x\le4\).

Exerciții

1
Rezolvă \(|x|<5\).

\(\displaystyle |x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\-x,&x<0\end{cases}
|a+b|\le |a|+|b|\)

2
Rezolvă \(|x-1|=3\).
3
Rezolvă \(-2x>6\).
4
Cît este \(|-7|\)?
5
Ce se întîmplă cu sensul lui \(<\) la împărțirea cu \(-2\)?
6
Ce înseamnă \(|x|\le4\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă \(|x-2|\le3\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Cea mai frecventă eroare este păstrarea sensului unei inegalități după înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor