A22 - Binomul lui Newton

Ideea lecției

Binomul lui Newton generalizează formule precum \((a+b)^2\) și \((a+b)^3\). Coeficienții sînt combinări, iar exponenții lui \(a\) scad în timp ce exponenții lui \(b\) cresc.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \((a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k\).
  • Există \(n+1\) termeni înainte de eventuala reducere a termenilor asemenea.
  • Coeficienții apar pe linia \(n\) a triunghiului lui Pascal.

Reguli și legături importante

  • Suma exponenților lui \(a\) și \(b\) în fiecare termen este \(n\).
  • Primul și ultimul coeficient sînt 1.
  • Pentru \((a-b)^n\), semnele se obțin înlocuind \(b\) cu \(-b\).

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Scrie coeficienții \(C_n^0,\ldots,C_n^n\).
  2. Pasul 2. Pornește cu \(a^n\) și scade exponentul lui \(a\) cu 1 la fiecare termen.
  3. Pasul 3. Crește exponentul lui \(b\) de la 0 la \(n\).
  4. Pasul 4. Pentru minus, urmărește puterile lui \(-b\).

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Dezvoltă \((x+2)^3\).

Pasul 1. Coeficienții pentru \(n=3\) sînt \(1,3,3,1\).

Pasul 2. \((x+2)^3=x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot2^2+2^3\).

Pasul 3. Simplificăm: \(x^3+6x^2+12x+8\).

Concluzie. \((x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8\).

Greșeală frecventă

Nu uita coeficienții binomiali. Dezvoltarea nu este doar suma puterilor termenilor.

Verificare rapidă

  • Cîți termeni are dezvoltarea formală a \((a+b)^5\)?
    Vezi răspunsul

    6.

  • Care este suma exponenților într-un termen?
    Vezi răspunsul

    5.

  • Coeficientul lui \(a^n\) este?
    Vezi răspunsul

    1.

Exerciții

1
Dezvoltă \((a+b)^2\).

\(\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k\)

2
Care este coeficientul lui \(x^2\) în \((x+1)^3\)?
3
Dezvoltă \((x-1)^3\).
4
Cîți termeni are dezvoltarea formală a \((a+b)^5\)?
5
Care este suma exponenților într-un termen?
6
Coeficientul lui \(a^n\) este?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Dezvoltă \((x+2)^3\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu uita coeficienții binomiali. Dezvoltarea nu este doar suma puterilor termenilor.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor