A17 - Proprietățile logaritmilor

Ideea lecției

Proprietățile logaritmilor transformă înmulțirea în adunare, împărțirea în scădere și puterea în produs. Aceste reguli sînt valabile numai cînd toate expresiile logaritmice implicate sînt definite.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\).
  • \(\log_a\displaystyle\frac xy=\log_a x-\log_a y\).
  • \(\log_a(x^r)=r\log_a x\), în condițiile de existență corespunzătoare.

Reguli și legături importante

  • Condițiile \(x>0\), \(y>0\) nu dispar cînd aplicăm formulele.
  • Nu există o regulă simplă de tip \(\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y\).
  • Pentru simplificare, caută produse, cîturi și puteri, nu sume.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Scrie condițiile de existență.
  2. Pasul 2. Factorizează sau grupează expresia astfel încît să apară produse/cîturi/puteri.
  3. Pasul 3. Aplică proprietățile logaritmilor.
  4. Pasul 4. Simplifică și verifică faptul că toate argumentele inițiale rămîn pozitive.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Simplifică \(\log_2 8+\log_2 4-\log_2 2\).

Pasul 1. Putem calcula direct: \(3+2-1=4\).

Pasul 2. Sau folosim proprietățile: \(\log_2\displaystyle\frac{8\cdot4}{2}=\log_2 16\).

Pasul 3. \(16=2^4\), deci rezultatul este 4.

Concluzie. Rezultatul este 4.

Greșeală frecventă

Formula \(\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y\) este falsă. Proprietățile standard se aplică produselor și cîturilor.

Verificare rapidă

  • Cum se transformă \(\log_a(xy)\)?
    Vezi răspunsul

    În \(\log_a x+\log_a y\).

  • Cum se transformă \(\log_a(x^3)\)?
    Vezi răspunsul

    În \(3\log_a x\).

  • Putem descompune \(\log_a(x+y)\) printr-o regulă de adunare?
    Vezi răspunsul

    Nu.

Exerciții

1
Simplifică \(\log_2 4+\log_2 8\).

\(\displaystyle \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y
\log_a\displaystyle\frac xy=\log_a x-\log_a y\)

2
Simplifică \(\log_3 27-\log_3 3\).
3
Scrie \(2\log_5 x\) ca un singur logaritm, pentru \(x>0\).
4
Cum se transformă \(\log_a(xy)\)?
5
Cum se transformă \(\log_a(x^3)\)?
6
Putem descompune \(\log_a(x+y)\) printr-o regulă de adunare?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Simplifică \(\log_2 8+\log_2 4-\log_2 2\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Formula \(\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y\) este falsă. Proprietățile standard se aplică produselor și cîturilor.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor