A06 - Submulțimi, mulțimi egale și boolean

Ideea lecției

Relația de incluziune compară mulțimi, nu elemente. Dacă fiecare element al lui \(A\) se găsește și în \(B\), atunci \(A\) este submulțime a lui \(B\). Booleanul unei mulțimi adună toate submulțimile ei și face legătura cu numărarea combinatorică.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(A\subseteq B\) înseamnă că orice element al lui \(A\) aparține lui \(B\).
  • \(A=B\) dacă și numai dacă \(A\subseteq B\) și \(B\subseteq A\).
  • Booleanul \(\mathcal B(A)\) este mulțimea tuturor submulțimilor lui \(A\).
  • Dacă \(A\) are \(n\) elemente, atunci \(\mathcal B(A)\) are \(2^n\) elemente.

Reguli și legături importante

  • Atît \(\varnothing\), cît și \(A\) sînt submulțimi ale lui \(A\).
  • Pentru egalitatea a două mulțimi nu este suficientă o singură incluziune.
  • Fiecare element al lui \(A\) are două alegeri în construirea unei submulțimi: este inclus sau nu este inclus; de aici apare \(2^n\).

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Pentru incluziune, verifică fiecare element al mulțimii mai mici.
  2. Pasul 2. Pentru egalitate, verifică ambele incluziuni.
  3. Pasul 3. Pentru boolean, construiește submulțimile după numărul de elemente: 0 elemente, 1 element, 2 elemente etc.
  4. Pasul 4. Controlează numărul final cu formula \(2^n\).

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Scrie \(\mathcal B(A)\) pentru \(A=\{a,b\}\).

Pasul 1. Mulțimea are \(n=2\) elemente, deci trebuie să obținem \(2^2=4\) submulțimi.

Pasul 2. Avem submulțimea vidă, cele două submulțimi cu un element și mulțimea întreagă.

Pasul 3. \(\mathcal B(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}\).

Concluzie. Booleanul are 4 elemente.

Greșeală frecventă

Simbolurile \(\in\) și \(\subseteq\) nu sînt interschimbabile: primul leagă un element de o mulțime, al doilea leagă două mulțimi.

Verificare rapidă

  • Este \(\varnothing\subseteq A\) pentru orice \(A\)?
    Vezi răspunsul

    Da.

  • Dacă \(|A|=5\), cîte elemente are \(\mathcal B(A)\)?
    Vezi răspunsul

    \(2^5=32\).

  • Ce trebuie verificat pentru \(A=B\)?
    Vezi răspunsul

    Ambele incluziuni: \(A\subseteq B\) și \(B\subseteq A\).

Exerciții

1
Dacă \(A=\{1,2\}\), este \(\{1\}\subseteq A\)?

\(\displaystyle \operatorname{card}\mathcal B(A)=2^{\operatorname{card}A}\)

2
Cîte submulțimi are o mulțime cu 4 elemente?
3
Scrie două submulțimi ale lui \(\{a,b,c\}\) cu exact două elemente.
4
Este \(\varnothing\subseteq A\) pentru orice \(A\)?
5
Dacă \(|A|=5\), cîte elemente are \(\mathcal B(A)\)?
6
Ce trebuie verificat pentru \(A=B\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Scrie \(\mathcal B(A)\) pentru \(A=\{a,b\}\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Simbolurile \(\in\) și \(\subseteq\) nu sînt interschimbabile: primul leagă un element de o mulțime, al doilea leagă două mulțimi.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor