A51 - Grade, radiani și cercul trigonometric

Ideea lecției

Trigonometria liceală devine mult mai simplă dacă unghiul este privit ca o rotație pe cerc. Radianul măsoară unghiul prin raportul dintre lungimea arcului și rază, iar cercul trigonometric permite lucrul cu unghiuri pozitive, negative și mai mari de o rotație.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(180^\circ=\pi\) rad și \(360^\circ=2\pi\) rad.
  • Pentru un arc de lungime \(l\) într-un cerc de rază \(r\), măsura în radiani este \(\alpha=l/r\).
  • Cercul trigonometric are raza 1 și centrul în origine; sensul pozitiv al rotației este trigonometric.

Reguli și legături importante

  • Din grade în radiani: înmulțește cu \(\pi/180\).
  • Din radiani în grade: înmulțește cu \(180/\pi\).
  • Unghiurile care diferă cu \(2k\pi\), \(k\in\mathbb Z\), au aceeași poziție finală pe cerc.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Identifică unitatea măsurii unghiului.
  2. Pasul 2. Aplică factorul de conversie potrivit.
  3. Pasul 3. Simplifică fracția cu \(\pi\).
  4. Pasul 4. Pentru poziția pe cerc, redu unghiul modulo \(2\pi\).

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Transformă \(150^\circ\) în radiani.

Pasul 1. Înmulțim cu \(\displaystyle\frac\pi{180^\circ}\).

Pasul 2. \(150^\circ\cdot\displaystyle\frac\pi{180^\circ}=\displaystyle\frac{150\pi}{180}\).

Pasul 3. Simplificăm prin 30: \(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\).

Concluzie. \(150^\circ=\displaystyle\frac{5\pi}{6}\).

Greșeală frecventă

Nu amesteca gradele și radianii în aceeași formulă fără conversie. În formulele standard de analiză trigonometrică, argumentele sînt de regulă în radiani.

Verificare rapidă

  • Cît este \(90^\circ\) în radiani?
    Vezi răspunsul

    \(\pi/2\).

  • Cît este \(2\pi\) rad în grade?
    Vezi răspunsul

    \(360^\circ\).

  • Ce rază are cercul trigonometric?
    Vezi răspunsul

    1.

Exerciții

1
Transformă \(60^\circ\) în radiani.

\(\displaystyle 180^\circ=\pi\text{ rad}
\alpha=\displaystyle\frac lr\)

2
Transformă \(3\pi/4\) în grade.
3
Redu \(13\pi/6\) modulo \(2\pi\).
4
Cît este \(90^\circ\) în radiani?
5
Cît este \(2\pi\) rad în grade?
6
Ce rază are cercul trigonometric?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Transformă \(150^\circ\) în radiani.
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu amesteca gradele și radianii în aceeași formulă fără conversie. În formulele standard de analiză trigonometrică, argumentele sînt de regulă în radiani.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor