A39 - Ecuația de gradul II și discriminantul

Ideea lecției

Discriminantul spune cîte rădăcini reale are o ecuație de gradul II înainte să le calculăm. Această informație are și sens geometric: arată de cîte ori parabola intersectează axa \(Ox\).

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Pentru \(ax^2+bx+c=0\), \(a\ne0\), discriminantul este \(\Delta=b^2-4ac\).
  • Dacă \(\Delta>0\), există două rădăcini reale distincte.
  • Dacă \(\Delta=0\), există o rădăcină reală dublă.
  • Dacă \(\Delta<0\), nu există rădăcini reale.

Reguli și legături importante

  • Pentru \(\Delta\ge0\), \(x_{1,2}=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\).
  • Înainte de formulă, poți verifica dacă ecuația se factorizează simplu.
  • Nu calcula \(\sqrt\Delta\) în \(\mathbb R\) dacă \(\Delta<0\).

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Identifică \(a,b,c\).
  2. Pasul 2. Calculează \(\Delta\).
  3. Pasul 3. Decide numărul de rădăcini după semnul lui \(\Delta\).
  4. Pasul 4. Aplică formula și simplifică.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Rezolvă \(x^2-5x+6=0\).

Pasul 1. \(a=1,b=-5,c=6\), deci \(\Delta=25-24=1\).

Pasul 2. Rădăcinile sînt \(\displaystyle\frac{5\pm1}{2}\).

Pasul 3. Obținem \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Concluzie. \(S=\{2,3\}\).

Greșeală frecventă

Semnul lui \(b\) intră în \(b^2\) și în \(-b\); scrie coeficienții explicit pentru a evita erori de semn.

Verificare rapidă

  • Ce înseamnă \(\Delta<0\)?
    Vezi răspunsul

    Nu există rădăcini reale.

  • Ce înseamnă \(\Delta=0\)?
    Vezi răspunsul

    O rădăcină reală dublă.

  • Formula lui \(\Delta\)?
    Vezi răspunsul

    \(b^2-4ac\).

Exerciții

1
Rezolvă \(x^2-9=0\).

\(\displaystyle \Delta=b^2-4ac
x_{1,2}=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)

2
Ce număr de rădăcini reale are \(x^2+4x+5=0\)?
3
Rezolvă \(x^2-4x+4=0\).
4
Ce înseamnă \(\Delta<0\)?
5
Ce înseamnă \(\Delta=0\)?
6
Formula lui \(\Delta\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă \(x^2-5x+6=0\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Semnul lui \(b\) intră în \(b^2\) și în \(-b\); scrie coeficienții explicit pentru a evita erori de semn.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor