G09 - Figuri asemenea și factorul de asemănare

Ideea lecției

Asemănarea păstrează forma, dar poate schimba dimensiunea. Factorul de asemănare multiplică toate lungimile corespunzătoare; ariile se multiplică cu pătratul factorului.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Două figuri asemenea au unghiuri corespunzătoare congruente și lungimi corespunzătoare proporționale.
  • Factorul de asemănare \(k>0\) este raportul lungimilor corespunzătoare.
  • Perimetrele se raportează cu \(k\), iar ariile cu \(k^2\).

Reguli și legături importante

  • Păstrează aceeași ordine a elementelor corespunzătoare în rapoarte.
  • Dacă inversezi direcția asemănării, factorul devine \(1/k\).
  • Asemănarea nu înseamnă congruență decît pentru \(k=1\).

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Stabilește corespondența elementelor.
  2. Pasul 2. Calculează raportul unei perechi de lungimi pentru \(k\).
  3. Pasul 3. Aplică același factor tuturor lungimilor corespunzătoare.
  4. Pasul 4. Pentru arii folosește \(k^2\).

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Două figuri asemenea au factorul \(k=3\). Dacă aria primei este 5 cm², care este aria celei de-a doua?

Pasul 1. Raportul ariilor este pătratul factorului.

Pasul 2. \(k^2=9\).

Pasul 3. Aria devine \(5\cdot9=45\) cm².

Concluzie. Aria celei de-a doua este 45 cm².

Greșeală frecventă

Nu multiplica aria cu \(k\); aria este o mărime bidimensională și se scalează cu \(k^2\).

Verificare rapidă

  • Cum se scalează lungimile?
    Vezi răspunsul

    Cu \(k\).

  • Cum se scalează ariile?
    Vezi răspunsul

    Cu \(k^2\).

  • Cînd asemănarea devine congruență?
    Vezi răspunsul

    Cînd \(k=1\).

Exerciții

1
Dacă factorul de asemănare este 2, raportul ariilor este?

\(\displaystyle \displaystyle\frac{A_2}{A_1}=k^2\)

2
Dacă o latură de 3 cm se scalează cu k=5, noua lungime?
3
Două figuri congruente au factor de asemănare?
4
Cum se scalează lungimile?
5
Cum se scalează ariile?
6
Cînd asemănarea devine congruență?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Două figuri asemenea au factorul \(k=3\). Dacă aria primei este 5 cm², care este aria celei de-a doua?
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu multiplica aria cu \(k\); aria este o mărime bidimensională și se scalează cu \(k^2\).” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor