A57 - Transformări sumă-produs și produs-sumă

Ideea lecției

Unele expresii trigonometrice devin mult mai simple dacă schimbăm forma: o sumă poate fi transformată într-un produs, iar un produs într-o sumă. Acest lucru este util în simplificări, ecuații și estimări.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(\sin u+\sin v=2\sin\displaystyle\frac{u+v}{2}\cos\displaystyle\frac{u-v}{2}\).
  • \(\sin u-\sin v=2\cos\displaystyle\frac{u+v}{2}\sin\displaystyle\frac{u-v}{2}\).
  • \(\cos u+\cos v=2\cos\displaystyle\frac{u+v}{2}\cos\displaystyle\frac{u-v}{2}\).
  • \(2\sin u\cos v=\sin(u+v)+\sin(u-v)\).

Reguli și legături importante

  • Calculează cu atenție semisuma și semidiferența.
  • Aceste formule derivă din formulele de adunare; nu sînt reguli independente arbitrare.
  • Alege direcția transformării după forma dorită a problemei.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Identifică dacă ai sumă/diferență sau produs.
  2. Pasul 2. Notează \((u+v)/2\) și \((u-v)/2\).
  3. Pasul 3. Aplică formula corespunzătoare.
  4. Pasul 4. Simplifică unghiurile și valorile remarcabile.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Transformă \(\sin70^\circ+\sin10^\circ\) în produs.

Pasul 1. Semisuma este \(40^\circ\).

Pasul 2. Semidiferența este \(30^\circ\).

Pasul 3. Obținem \(2\sin40^\circ\cos30^\circ=\sqrt3\sin40^\circ\).

Concluzie. \(\sin70^\circ+\sin10^\circ=\sqrt3\sin40^\circ\).

Greșeală frecventă

Semidiferența poate fi negativă; urmărește paritatea funcției care apare după transformare.

Verificare rapidă

  • În formula \(\sin u+\sin v\), ce apare la sinus?
    Vezi răspunsul

    Semisuma \((u+v)/2\).

  • Ce apare la cosinus?
    Vezi răspunsul

    Semidiferența \((u-v)/2\).

  • Aceste formule pot ajuta la ecuații?
    Vezi răspunsul

    Da, transformînd suma în produs.

Exerciții

1
Transformă \(2\sin x\cos y\) în sumă.

\(\displaystyle \sin u+\sin v=2\sin\displaystyle\frac{u+v}{2}\cos\displaystyle\frac{u-v}{2}\)

2
Transformă \(\cos u+\cos v\) în produs.
3
Calculează semisuma lui 70° și 10°.
4
În formula \(\sin u+\sin v\), ce apare la sinus?
5
Ce apare la cosinus?
6
Aceste formule pot ajuta la ecuații?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Transformă \(\sin70^\circ+\sin10^\circ\) în produs.
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Semidiferența poate fi negativă; urmărește paritatea funcției care apare după transformare.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor