Ideea lecției
Axa numerelor transformă comparația într-o idee geometrică: numărul mai mare este mai la dreapta. Pentru radicali sau expresii complicate putem folosi aproximări, pătrate sau diferențe, alegând metoda care evită calculele inutile.
În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.
Noțiuni-cheie
- Fiecărui număr real îi corespunde un singur punct pe axa numerelor.
- Distanța de la punctul de coordonată \(a\) la origine este \(|a|\).
- Pentru două numere reale, \(a>b\) înseamnă că punctul lui \(a\) este la dreapta punctului lui \(b\).
Reguli și legături importante
- Dintre două numere negative este mai mare cel cu modul mai mic.
- Pentru radicali pozitivi se pot compara pătratele lor atunci când această operație păstrează ordinea.
- O altă metodă sigură este să studiezi semnul diferenței \(a-b\).
Înțelegere pas cu pas
- Pasul 1. Stabilește semnul numerelor comparate.
- Pasul 2. Dacă sînt simple, folosește direct axa sau scrierea zecimală.
- Pasul 3. Dacă apar radicali, încearcă să transformi ambii termeni în forme comparabile ori să studiezi diferența.
- Pasul 4. Scrie concluzia cu semnul corect și verifică dacă este compatibilă cu o aproximare intuitivă.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. Compară \(3\sqrt5\) și \(5\sqrt2\).
Pasul 1. Ambele numere sînt pozitive, deci putem compara pătratele.
Pasul 2. \((3\sqrt5)^2=9\cdot5=45\), iar \((5\sqrt2)^2=25\cdot2=50\).
Pasul 3. Cum \(45<50\), rezultă \(3\sqrt5<5\sqrt2\).
Concluzie. \(3\sqrt5<5\sqrt2\).
Greșeală frecventă
Nu ridica la pătrat fără să observi semnele. Pentru numere de semne diferite, comparația se face mai simplu direct.
Verificare rapidă
- Care este mai mare: \(-2\) sau \(-5\)?
Vezi răspunsul
\(-2\), fiind mai la dreapta pe axă.
- Ce reprezintă \(|a|\) geometric?
Vezi răspunsul
Distanța de la punctul \(a\) la origine.
- Dacă \(a-b>0\), ce relație avem?
Vezi răspunsul
Exerciții
1
Compară \(\sqrt{20}\) și \(5\).
2
Compară \(-\sqrt7\) și \(-3\).
3
Ordonează crescător \(-2,\sqrt2,1\).
4
Care este mai mare: \(-2\) sau \(-5\)?
5
Ce reprezintă \(|a|\) geometric?
6
Dacă \(a-b>0\), ce relație avem?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Compară \(3\sqrt5\) și \(5\sqrt2\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu ridica la pătrat fără să observi semnele. Pentru numere de semne diferite, comparația se face mai simplu direct.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.