Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea pe ipotenuză creează două triunghiuri mai mici asemenea cu triunghiul inițial. Din această asemănare apar teorema catetei, teorema înălțimii și teorema lui Pitagora.
În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.
Noțiuni-cheie
Teorema lui Pitagora: \(a^2+b^2=c^2\), unde \(c\) este ipotenuza.
Teorema catetei: pătratul catetei este produsul dintre ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză.
Teorema înălțimii: \(h^2=pq\), unde \(p,q\) sînt segmentele ipotenuzei.
Reguli și legături importante
Ipotenuza este latura opusă unghiului drept.
Identifică proiecțiile corect înainte de formule.
Relațiile pot fi deduse din asemănarea triunghiurilor, nu trebuie memorate ca formule fără legătură.
Înțelegere pas cu pas
Pasul 1. Desenează triunghiul și înălțimea pe ipotenuză.
Pasul 2. Notează ipotenuza și cele două proiecții.
Pasul 3. Alege relația metrică ce conține datele și necunoscuta.
Pasul 4. Calculează și verifică lungimile pozitive.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. Catetele unui triunghi dreptunghic sînt 6 și 8. Află ipotenuza.
Pasul 1. Aplicăm Pitagora: \(c^2=6^2+8^2\).
Pasul 2. \(c^2=36+64=100\).
Pasul 3. Cum lungimea este pozitivă, \(c=10\).
Concluzie. Ipotenuza este 10.
Greșeală frecventă
Nu aplica Pitagora cu o latură arbitrară în rol de ipotenuză; ipotenuza este întotdeauna opusă unghiului drept.
Înălțimea pe ipotenuză creează triunghiuri asemenea și relațiile metrice clasice.
Verificare rapidă
Formula lui Pitagora?Vezi răspunsul
\(a^2+b^2=c^2\).
Ce este ipotenuza?Vezi răspunsul
Latura opusă unghiului drept.
Formula înălțimii pe ipotenuză?Vezi răspunsul
\(h^2=pq\).
Exerciții
1
Catetele sînt 5 și 12. Ipotenuza?
\(\displaystyle a^2+b^2=c^2
h^2=pq\)
2
Proiecțiile pe ipotenuză sînt 4 și 9. Înălțimea?
3
Ipotenuza 10, proiecția unei catete 3,6. Cateta?
4
Formula lui Pitagora?
5
Ce este ipotenuza?
6
Formula înălțimii pe ipotenuză?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Catetele unui triunghi dreptunghic sînt 6 și 8. Află ipotenuza.
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu aplica Pitagora cu o latură arbitrară în rol de ipotenuză; ipotenuza este întotdeauna opusă unghiului drept.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.