G16 - Teorema sinusurilor și teorema cosinusului

Ideea lecției

Pentru triunghiuri care nu sînt dreptunghice, teorema sinusurilor și teorema cosinusului extind instrumentele metrice. Alegerea formulei depinde de date: sinusurile sînt bune pentru perechi latură–unghi opus, iar cosinusul pentru LUL sau LLL.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Teorema sinusurilor: \(\displaystyle\frac a{\sin A}=\displaystyle\frac b{\sin B}=\displaystyle\frac c{\sin C}=2R\).
  • Teorema cosinusului: \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\).
  • Pentru \(C=90^\circ\), teorema cosinusului devine Pitagora.

Reguli și legături importante

  • La teorema sinusurilor, fiecare latură se împerechează cu unghiul opus.
  • La cosinus, unghiul din formulă este cel cuprins între laturile \(a\) și \(b\).
  • Verifică dacă unghiurile găsite sînt compatibile cu suma de \(180^\circ\).

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Identifică ce tip de date ai: LUL, LLL, UUL etc.
  2. Pasul 2. Pentru o pereche latură–unghi opus cunoscută, încearcă sinusurile.
  3. Pasul 3. Pentru două laturi și unghiul cuprins sau trei laturi, încearcă cosinusul.
  4. Pasul 4. Calculează și verifică geometric rezultatul.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Într-un triunghi, \(a=5\), \(b=7\), \(C=60^\circ\). Află \(c\).

Pasul 1. Avem două laturi și unghiul cuprins, deci folosim teorema cosinusului.

Pasul 2. \(c^2=25+49-2\cdot5\cdot7\cdot\displaystyle\frac12=74-35=39\).

Pasul 3. \(c=\sqrt{39}\), lungime pozitivă.

Concluzie. \(c=\sqrt{39}\).

Greșeală frecventă

Nu asocia un unghi cu latura alăturată în teorema sinusurilor; fiecare unghi se leagă de latura opusă.

Verificare rapidă

  • Teorema sinusurilor conține ce rază?
    Vezi răspunsul

    Raza cercului circumscris, \(R\).

  • Cosinus pentru \(90^\circ\) dă?
    Vezi răspunsul

    Teorema lui Pitagora.

  • În \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\), \(C\) este?
    Vezi răspunsul

    Unghiul cuprins între \(a\) și \(b\).

Exerciții

1
Într-un triunghi, a=3, b=4, C=90°. c?

\(\displaystyle \displaystyle\frac a{\sin A}=\displaystyle\frac b{\sin B}=\displaystyle\frac c{\sin C}=2R
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)

2
Dacă a/sin A=10 și sin A=0,6, cît este a?
3
Ce relație are a/sin A cu raza circumscrisă?
4
Teorema sinusurilor conține ce rază?
5
Cosinus pentru \(90^\circ\) dă?
6
În \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\), \(C\) este?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Într-un triunghi, \(a=5\), \(b=7\), \(C=60^\circ\). Află \(c\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu asocia un unghi cu latura alăturată în teorema sinusurilor; fiecare unghi se leagă de latura opusă.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor