A03 - Operații aritmetice cu numere reale

Ideea lecției

Operațiile cu numere reale extind regulile deja cunoscute pentru numere raționale. În practică, scopul nu este să „calculezi cu infinit de multe zecimale”, ci să folosești proprietăți algebrice și forme exacte, apoi să aproximezi doar la final dacă problema o cere.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Suma, diferența și produsul a două numere reale sînt numere reale; cîtul este real dacă împărțitorul este nenul.
  • Proprietățile comutativă, asociativă și distributivă rămîn valabile în \(\mathbb R\).
  • Un număr rațional nenul adunat cu un irațional dă un irațional; pentru două iraționale rezultatul poate fi rațional sau irațional.

Reguli și legături importante

  • Păstrează radicalii în formă exactă atunci când se pot simplifica algebric.
  • Grupează termenii asemenea: \(a\sqrt m+b\sqrt m=(a+b)\sqrt m\).
  • Folosește aproximări doar când se cere un rezultat numeric aproximativ.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Simplifică fiecare radical sau termen înainte de a efectua operația.
  2. Pasul 2. Grupează termenii de același tip.
  3. Pasul 3. Aplică proprietățile operațiilor pentru a reduce numărul de calcule.
  4. Pasul 4. Verifică dacă rezultatul poate fi simplificat în continuare.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Calculează \((2+\sqrt3)(2-\sqrt3)\).

Pasul 1. Recunoaștem produsul a două expresii conjugate.

Pasul 2. Aplicăm \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).

Pasul 3. Obținem \(2^2-(\sqrt3)^2=4-3=1\).

Concluzie. Rezultatul este \(1\), deși factorii conțin numere iraționale.

Greșeală frecventă

Nu presupune că operația dintre două iraționale produce obligatoriu un irațional.

Verificare rapidă

  • Este definit \(\sqrt2:0\)?
    Vezi răspunsul

    Nu. Împărțirea la zero nu este definită.

  • Cît este \(3\sqrt2+5\sqrt2\)?
    Vezi răspunsul

    \(8\sqrt2\).

  • Poate produsul a două iraționale să fie rațional?
    Vezi răspunsul

    Da; de exemplu \(\sqrt2\cdot\sqrt2=2\).

Exerciții

1
Simplifică \(4\sqrt3-\sqrt3\).

\(\displaystyle (a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

2
Calculează \((\sqrt5+1)(\sqrt5-1)\).
3
Este \(\sqrt2+3\) rațional?
4
Este definit \(\sqrt2:0\)?
5
Cît este \(3\sqrt2+5\sqrt2\)?
6
Poate produsul a două iraționale să fie rațional?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Calculează \((2+\sqrt3)(2-\sqrt3)\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu presupune că operația dintre două iraționale produce obligatoriu un irațional.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor